Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，AB=5，在AB邊上有一點P，過點P作PM⊥BC，垂足為M，過點M作MN⊥AC，垂足為N，過點N作NQ⊥AB，垂足為Q．當PQ=1時，BP=_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】由題意可知P點可能靠近B點，也可能靠近A點，所以需要分為兩種情況：設BM=x，AQ=y，

若P靠近B點，由題意可得∠BPM=30°，根據直角三角形的性質可得BP=2BM=2x，AN=2y，CM=2CN=10-4y，再根據AB=BC=5，PQ=1，列方程組，解出x、y即可求得BP的長；

若點P靠近A點，同理可得，求解即可.

設BM=x，AQ=y，

若P靠近B點，如圖

∵等邊△ABC，

∴AB=BC=AC=5，∠A=∠B=∠C=60°

∵PM⊥BC

∴∠BMP=90°

則Rt△BMP中，∠BPM=30°，

∴BM=BP

則BP=2x

同理AN=2y，

則CN=5-2y

在Rt△BCM中，CM=2CN=10-4y

∵AB=BC=5，PQ=1

∴

解得

∴BP=2x=；

若點P靠近A點，如圖

由上面的解答可得BP=2x，AQ=y，CM=10-4y

∴

解得

∴BP=2x=

綜上可得BP的長為：或.