Question

【題目】數學家高斯在上學時曾經研究過這樣一個問題，？

經過研究，這個問題的一般性結論是，其中為正整數，現在我們來研究一個類似的問題：？

觀察下面三個特殊的等式：

將這三個等式的兩邊相加，可以得到．

讀完這段材料，請你計算：

（1）________；（直接寫出結果）

（2）；（寫出計算過程）

（3）________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據三個特殊等式相加的結果，代入熟記進行計算即可求解；
（2）先對特殊等式進行整理，從而找出規律，然后把每一個算式都寫成兩個兩個算式的運算形式，整理即可得解；
（3）根據（2）的求解規律，利用特殊等式的計算方法，先把每一個算式分解成兩個算式的運算形式，整理即可得解．

解：（1）∵1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=×4×5=20，
∴1×2+2×3+…+100×101=×100×101×102=343400；
（2）∵1×2=n（1×2×3-0×1×2）=（1×2×3-0×1×2），
2×3=x（2×3×4-1×2×3）=（2×3×4-1×2×3），
3×4=n（3×4×5-2×3×4）=（3×4×5-2×3×4），
…
n（n+1）= [n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
∴1×2+2×3+…+n（n+1）= [1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
=n（n+1）（n+2）；

（3）根據（2）的計算方法，1×2×3=n（1×2×3×4-0×1×2×3）=（1×2×3×4-0×1×2×3），
2×3×4=x（2×3×4×5-1×2×3×4）=（2×3×4×5-1×2×3×4），
…
n（n+1）（n+2）= [n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=（1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
=n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案為：（1）343400；（2）n（n+1）（n+2）；（3）n（n+1）（n+2）（n+3）．