Question

【題目】已知甲同學手中藏有三張分別標有數字 ， ，1的卡片，乙同學手中藏有三張分別標有1，3，2的卡片，卡片外形相同．現從甲乙兩人手中各任取一張卡片，并將它們的數字分別記為a，b．
（1）請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結果．
（2）現制定這樣一個游戲規則：若所選出的a，b能使得ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，則稱甲獲勝；否則稱乙獲勝．請問這樣的游戲規則公平嗎？請你用概率知識解釋．

Answer 1

【答案】
（1）解：畫樹狀圖得：

∵（a，b）的可能結果有（ ，1）、（ ，3）、（ ，2）、（ ，1）、（ ，3）、（ ，2）、（1，1）、（1，3）及（1，2），

∴（a，b）取值結果共有9種；

（2）解：∵當a= ，b=1時，△=b2﹣4ac=﹣1＜0，此時ax2+bx+1=0無實數根，

當a= ，b=3時，△=b2﹣4ac=7＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，

當a= ，b=2時，△=b2﹣4ac=2＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，

當a= ，b=1時，△=b2﹣4ac=0，此時ax2+bx+1=0有兩個相等的實數根，

當a= ，b=3時，△=b2﹣4ac=8＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，

當a= ，b=2時，△=b2﹣4ac=3＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，

當a=1，b=1時，△=b2﹣4ac=﹣3＜0，此時ax2+bx+1=0無實數根，

當a=1，b=3時，△=b2﹣4ac=5＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，

當a=1，b=2時，△=b2﹣4ac=0，此時ax2+bx+1=0有兩個相等的實數根，

∴P（甲獲勝）=P（△＞0）= ＞P（乙獲勝）= ，

∴這樣的游戲規則對甲有利，不公平．

【解析】（1）首先根據題意畫出樹狀圖，然后根據樹狀圖即可求得所有等可能的結果；（2）利用一元二次方程根的判別式，即可判定各種情況下根的情況，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙獲勝的概率，比較概率大小，即可確定這樣的游戲規是否公平．
【考點精析】關于本題考查的求根公式和列表法與樹狀圖法，需要了解根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法求概率才能得出正確答案．