Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點M的坐標是（5，4），⊙M與y軸相切于點C，與x軸相交于A、B兩點．

（1）則點A、B、C的坐標分別是A（__，__），B（__，__），C（__，__）；

（2）設經過A、B兩點的拋物線解析式為，它的頂點為F，求證：直線FA與⊙M相切；

（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，且點P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形．如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（2，0），B（8，0），C（0，4）；（2）證明見試題解析；（3）P（5，4），或（5，），或（5，）．

【解析】

試題分析：（1）連接MC、MA，由切線的性質得出MC⊥y軸，MC=MA=5，OC=MD=4，得出點C的坐標；由MD⊥AB，得出DA=DB，∠MDA=90°，由勾股定理求出AD，得出BD、OA、OB，即可得出點A、B的坐標；

（2）把點A（2，0）代入拋物線得出k的值，得出頂點E的坐標，得出DE、ME，由勾股定理得出的值，證出，由勾股定理的逆定理證出∠MAE=90°，即可得出EA與⊙M相切；

（3）由勾股定理求出BC，分三種情況：

①當PB=PC時，點P在BC的垂直平分線上，點P與M重合，容易得出點P的坐標；

②當BP=BC=時，由勾股定理求出PD，即可得出點P的坐標；

③當PC=BC=時，由勾股定理求出PM，得出PD，即可得出點P的坐標．

試題解析：（1）連接MC、MA，如圖1所示：

∵⊙M與y軸相切于點C，∴MC⊥y軸，∵M（5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4，∴C（0，4），∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴AD==3，∴BD=3，∴OA=5﹣3=2，OB=5+3=8，∴A（2，0），B（8，0），故答案為：2，0；8，0；0，4；

（2）把點A（2，0）代入拋物線y=，得：k=，∴E（5，），∴DE=，∴ME=MD+DE==，==，∵ ==，=，∴，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA與⊙M相切；

（3）存在；點P坐標為（5，4），或（5，），或（5，）；理由如下：

由勾股定理得：BC===，分三種情況：

①當PB=PC時，點P在BC的垂直平分線上，點P與M重合，∴P（5，4）；

②當BP=BC=時，如圖2所示：

∵PD===，∴P（5，）；

③當PC=BC=時，連接MC，如圖3所示：

則∠PMC=90°，根據勾股定理得：PM===，∴PD=，∴P（5，）；

綜上所述：存在點P，且點P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形，點P的坐標為（5，4），或（5，），或（5，）．