Question

【題目】如圖，△ABC 內接于半⊙O，AB 為直徑，弦 AD 平分∠CAB，DE 切⊙O 于點 D．

（1） 求證：DE∥BC

（2） 若 AD＝BC，⊙O 半徑為 2，求∠CAD 與弧CD圍成區域的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OD．只要證明DE⊥OD，BC⊥OD即可解決問題；

（2）只要證明△COD是等邊三角形，可得∠CDO=∠DOB=60°，推出CD∥AB，推出S△ACD=S△COD，可得∠CAD與圍成區域的面積=扇形OCD的面積，由此即可解決問題．

（1）證明：連接OD．

∵DE是⊙O切線，

∴OD⊥DE，

∵AD平分∠CAB，

∴∠DAC=∠DAB，

∴=，

∴OD⊥BC，

∴DE∥BC．

（2）∵AD=BC，

∴=，

∴=，∵=，

∴==，

∴∠COD=∠BOD=60°，

∵OC=OD，

∴△COD是等邊三角形，

∴∠CDO=∠DOB=60°，

∴CD∥AB，

∴S△ACD=S△COD，

∴∠CAD與圍成區域的面積=扇形OCD的面積==π．