Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，以AB為直徑作⊙O恰好與CD相切．

（1）求證：AD+BC=CD；

（2）若E為OA的中點，連結CE并延長交DA的延長線于F，當AE=AF時，求sin∠DCF．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）sin∠DCF=．

【解析】

（1）作OH⊥CD于H，如圖，根據切線的性質得到點H為切點，再證明AD和BC都與⊙O相切，則根據切線長定理得到DA=DH，CB=CH，于是有AD+BC=DH+CH=CD；

（2）先判斷△AEF為等腰直角三角形得到∠F=45°，再判斷△OBC為等腰直角三角形得BE=BC，作DG⊥BC于G，如圖，易得四邊形ABGD為矩形，則設AE=AF=x，AD=y，所以BE=BC=3x，CD=y+3x，DG=4x，CG=CB-BG=3x-y，接著在Rt△DGC中利用勾股定理可計算出y=x，則CD=x，DF=x；作DK⊥CF于K，如圖，則△KDF為等腰直角三角形，于是DK=DF=x，然后在Rt△CDK中根據正弦的定義求解．

（1）證明：作OH⊥CD于H，如圖，

∵以AB為直徑作⊙O與CD相切，

∴點H為切點，

∵∠ABC=90°，AD∥BC，

∴AD⊥AB，BC⊥AB，

∴AD和BC都與⊙O相切，

∴DA=DH，CB=CH，

∴AD+BC=DH+CH=CD；

（2）解：∵AE=AF，∠EAF=90°，

∴△AEF為等腰直角三角形，

∴∠F=45°，

∵AF∥BC，

∴∠FCB=45°，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴BE=BC，

作DG⊥BC于G，如圖，易得四邊形ABGD為矩形，

設AE=AF=x，AD=y，則BE=BC=3x，

∴CD=y+3x，DG=4x，CG=CB﹣BG=3x﹣y，

在Rt△DGC中，∵DG2+CG2=CD2，

∴（4x）2+（3x﹣y）2=（y+3x）2，

∴y=x，

∴CD=x+3x=x，DF=x+x=x，

作DK⊥CF于K，如圖，則△KDF為等腰直角三角形，

∴DK=DF=x，

在Rt△CDK中，sin∠DCK===，

即sin∠DCF=．