Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A（0，﹣3），B（），對(duì)稱(chēng)軸為直線，點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，在四邊形PMON上分別截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）求證：以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形CDEF是平行四邊形；
（3）在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形CDEF為矩形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）。
（2）證明△PCF≌△OED，得CF=DE；證明△CDM≌△FEN，得C D=EF．這樣四邊形CDEF兩組對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等，所以四邊形CDEF是平行四邊形。
（3）拋物線上存在點(diǎn)P，使四邊形CDEF為矩形．這樣的點(diǎn)有四個(gè)，在四個(gè)坐標(biāo)象限內(nèi)各一個(gè)，其坐標(biāo)分別為：P₁（），P₂（），P₃（﹣3，3），P₄（1，﹣1）

分析：（1）利用頂點(diǎn)式和待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。
（2）證明△PCF≌△OED，得CF=DE；證明△CDM≌△FEN，得C D=EF．這樣四邊形CDEF兩組對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等，所以四邊形CDEF是平行四邊形。
（3）根據(jù)已知條件，利用相似三角形△PCF∽△MDC，可以證明矩形PMON是正方形．這樣點(diǎn)P就是拋物線y=x²+x﹣3與坐標(biāo)象限角平分線y=x或y=﹣x的交點(diǎn)，聯(lián)立解析式解方程組，分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．符合題意的點(diǎn)P有四個(gè)，在四個(gè)坐標(biāo)象限內(nèi)各一個(gè)。
解：（1）∵二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，
∵點(diǎn)A（0，﹣3），B（）在拋物線上，
∴，解得：。
∴拋物線的解析式為：，即。
（2）證明：如圖，連接CD、DE、EF、FC，

∵PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，
∴四邊形PMON為矩形。
∴PM=ON，PN=OM。
∵PC=MP，OE=ON，∴PC=OE。
∵M(jìn)D=OM，NF=NP，∴MD=NF。
∴PF=OD。
∵在△PCF與△OED中，，
∴△PCF≌△OED（SAS）。∴CF=DE。
同理可證：△CDM≌△FEN，∴CD=EF。
∵CF=DE，CD=EF，∴四邊形CDEF是平行四邊形。
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形CDEF為矩形，
設(shè)矩形PMON的邊長(zhǎng)PM=ON=m，PN=OM=n，
則PC=m，MC=m，MD=n，PF=n．
若四邊形CDEF為矩形，則∠DCF=90°，易證△PCF∽△MDC，
∴，即，化簡(jiǎn)得：m²=n²。
∴m=n，即矩形PMON為正方形。
∴點(diǎn)P為拋物線與坐標(biāo)象限角平分線y=x或y=﹣x的交點(diǎn)。
聯(lián)立，解得。
∴P₁（），P₂（）。
聯(lián)立，解得。
∴P₃（﹣3，3），P₄（1，﹣1）。
∴拋物線上存在點(diǎn)P，使四邊形CDEF為矩形．這樣的點(diǎn)有四個(gè)，在四個(gè)坐標(biāo)象限內(nèi)各一個(gè)，其坐標(biāo)分別為：P₁（），P₂（），P₃（﹣3，3），P₄（1，﹣1）。