Question

（2013年四川瀘州12分）如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（1，），已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過三點A、B、O（O為原點）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上，是否存在點C，使△BOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如果點P是該拋物線上x軸上方的一個動點，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由．（注意：本題中的結果均保留根號）

Answer 1

解：（1）將A（﹣2，0），B（1，），O（0，0）三點的坐標代入y=ax²+bx+c（a≠0），得：
，解得：。
∴所求拋物線解析式為。
（2）存在。理由如下：
如答圖①所示，

∵，
∴拋物線的對稱軸為x=﹣1。
∵點C在對稱軸x=﹣1上，△BOC的周長=OB+BC+CO。
∵OB=2，∴要使△BOC的周長最小，必須BC+CO最小。
∵點O與點A關于直線x=﹣1對稱，有CO=CA，
△BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+CA，
∴當A、C、B三點共線，即點C為直線AB與拋物線對稱軸的交點時，BC+CA最小，此時△BOC的周長最小。
設直線AB的解析式為y=kx+t，則有：
，解得：。
∴直線AB的解析式為。
當x=﹣1時，，∴所求點C的坐標為（﹣1，）。
（3）設P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），
則①
如答圖②所示，過點P作PQ⊥y軸于點Q，PG⊥x軸于點G，過點A作AF⊥PQ軸于點F，過點B作BE⊥PQ軸于點E，則PQ=﹣x，PG=y，由題意可得：

將①代入②得：
，
∴當x=時，△PAB的面積最大，最大值為。
此時。
∴點P的坐標為（，）。

（1）直接將A、O、B三點坐標代入拋物線解析式的一般式，可求解析式。
（2）因為點A，O關于對稱軸對稱，連接AB交對稱軸于C點，C點即為所求，求直線AB的解析式，再根據C點的橫坐標值，求縱坐標。
（3）設P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），用割補法可表示△PAB的面積，根據面積表達式再求取最大值時，x的值。