Question

【題目】在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB為邊向△ABC外作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】2或2或3

【解析】

根據題意中的△ABD為等腰直角三角形，顯然應分為三種情況：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙構造輔助線，出現全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性質和勾股定理進行求解．

∵AC=4，BC=2，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ACB為直角三角形，

∠ACB=90°．

分三種情況：如圖（1），過點D作DE⊥CB，垂足為點E．

∵DE⊥CB，

∴∠BED=∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠CBA=90°.

∵△ABD為等腰直角三角形，

∴AB=BD，∠ABD=90°，

∴∠CBA+∠DBE=90°，

∴∠CAB=∠EBD.

在△ACB與△BED中，

∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD，

∴△ACB≌△BED（AAS），

∴BE=AC=4，DE=CB=2，

∴CE=6.根據勾股定理得

如圖（2），過點D作DE⊥CA，垂足為點E．

∵BC⊥CA，∴∠AED=∠ACB=90°，

∴∠EAD+∠EDA=90°.

∵△ABD為等腰直角三角形，∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠CAB+∠DAE=90°，

∴∠BAC=∠ADE.在△ACB與△DEA中，

∵∠ACB=∠DEA，∠CAB=∠EDA， AB=DA，

∴△ACB≌△DEA（AAS），

∴DE=AC=4，AE=BC=2，

∴CE=6，根據勾股定理得

如圖（3），過點D作DE⊥CB，垂足為點E，過點A作AF⊥DE，垂足為點F．∵∠C=90°，

∴∠CAB+∠CBA=90°.

∵∠DAB+∠DBA=90°，

∴∠EBD+∠DAF=90°.

∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠DBE=∠ADF.

∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，

∴△AFD≌△DEB，則ED=AF.

由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，則四邊形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4.

設DF=x，則BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF-DF=4-x，則2+x=4-x，解得x=1，

故EC=DE=3，

則