Question

【題目】如圖，點O為直線AB上一點，過點O作直線OC，已知∠AOC≠90°，射線OD平分∠AOC，射線OE平分∠BOC，射線OF平分∠DOE．求：

（1）當0°＜∠AOC＜90°時，求∠FOB+∠DOC的度數；

（2）若∠DOC=3∠COF，求∠AOC的度數．

Answer 1

【答案】（1）135°（2）∠AOC=67.5°或135°

【解析】（1）先根據射線OD平分∠AOC，∠AOD=∠COD，射線OE平分∠BOC，得∠COE=∠BOE，再根據∠AOC+∠BOC=180°，得出∠DOE=90°，由射線OF平分∠DOE，得∠DOF=∠EOF=45°，從而求得∠FOB+∠DOC的度數；
（2）設∠AOD=∠COD=x°，分∠AOC為銳角和鈍角兩種情況，根據∠DOC=3∠COF，得出x的值，即可求得∠AOC的度數．

解：如圖1，

（1）∵射線OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD，
∵射線OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=∠AOC+∠BOC=90°，
∵OF平分∠DOE，
∴∠DOF=∠EOF=∠DOE=45°，
∴∠FOB+∠DOC=∠BOF+∠AOD=180°-∠DOF=280°-45°=135°；
（2）設∠AOD=∠COD=x°，則∠AOC=2x°，
由（1）的證明過程可知∠DOE=90°，∠DOF=∠EOF=45°，
∠AOC≠90°，分情況考慮如下：
①當∠AOC為銳角時，如圖1，∠COF=∠DOF-∠COD=45°-x，
∵∠DOC=3∠COF，
∴x=3（45°-x），
解得x=33.75°，
∴∠AOC=2x=67.5°．
②當∠AOC為鈍角時，如圖2，

∠COF=∠COD-∠DOF=x-45°，
∵∠DOC=3∠COF，
∴x=3（x-45°），
解得x=67.5°，
∴∠AOC=2x=135°．
綜合，可得∠AOC=67.5°或135°．

“點睛”本題考查了角的計算和角平分線的定義，一定要注意角平分線的幾種表示方法．如：∠1=∠2，∠1=∠AOB，∠AOB=2∠1．