Question

【題目】
（1）如圖1，點P是ABCD內的一點，分別過點B、C、D作AP的垂線BE、CF、DH，垂足分別為E、F、H，猜想BE、CF、DH三者之間的關系，并證明；

（2）如圖2，若點P在ABCD的外部，△APB的面積為18，△APD的面積為3，求△APC的面積；

（3）如圖3，在（2）的條件下，增加條件：AB=BC，∠APC=ABC=90°，設AP、BP分別于CD相交于點M、N，當DM=CN時， =（請直接寫出結論）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過C作CG⊥BE于G，延長BC交AF于Q，

∵CF⊥AC，BE⊥AC，

∴四邊形CGEF是矩形，

∴EG=CF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAH=∠Q，

∵CG∥AF，

∴∠G=∠BCG，

∴∠DAH=∠BCG，

在△ADH與△BCG中， ，

∴△ADH≌△BCG，

∴DH=BG，

∴BE=BG+EG=DH+CF

（2）

解：分別過點B、C、D作AP的垂線BE、CF、DH，垂足分別為E、F、H，

由（1）知BE=DH+CF，

∵S△ADP= APDH，S△ABP= APBE，S△ACP= APCF，

∴S△ADP+S△ACP= AP（DH+CF）= APBE=S△ABP，

∵△APB的面積為18，△APD的面積為3，

∴S△APC=15；

（3）
【解析】解：（3）過B作BE⊥AP于E，連接AC，

∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCA=∠CAB=45°，
在△ADM與△BCN中， ，
∴△ADM≌△BCN，
∴AM=BN，∠AMD=∠BNC，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN，
∴AP=BP，
∵∠ADC=∠APC=90°，
∴A，C，P，D四點共圓，
∴∠DPA=∠ACD=45°，
在△PDM與△PCN中， ，
∴△PDM≌△PCN，
∴∠CPN=∠DPM=45°，
∴∠APB=45°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴PB=PA= BE，
∵S△ABP= APBE= × BEBE=18，
∴BE=3 ，
∴AP=6 ，
∵APPC=30，
∴PC= ，
∵∠PDC=∠PCD=∠PAC，
∴tan∠PCM=tan∠PAC= = = ，
∴ = ．
所以答案是： ．
【考點精析】利用三角形的面積對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的面積=1/2×底×高．