Question

【題目】己知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，以AC為邊作等邊三角形ACE，直線BE交直線AD于點F，連接FC．
（1）如圖1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE與△ABC在直線AC的異側，且FC交AE于點M．

①求證：∠FEA=∠FCA；
②猜想線段FE，FA，FD之間的數量關系，并證明你的結論：
（2）當60°＜∠BAC＜120°，且△ACE與△ABC在直線AC的同側時，利用圖2畫出圖形探究線段FE，FA，FD之間的數量關系，并直接寫出你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵AD⊥BC，AB=AC，

∴BD=DC，

∴FB=FC，

∴∠FBC=∠FCB，

∴AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠FBA=∠FCA，

∵以AC為邊作等邊三角形ACE，

∴AE=AC=AB，

∴∠ABF=∠AEF，

∴∠ACF=∠AEF，

即：∠FEA=∠FCA；

②結論：EF=FA+AD，

∵以AC為邊作等邊三角形ACE，

∴∠EAC=60°，

由①有，∠ACF=∠AEF，

∴∠EFC=∠EAC=60°，

由①得，BF=CF，FD⊥BC，

∴∠BFD=∠CFD，

∵∠BFD+∠CFD+∠EFC=180°，

∴∠BFD=∠CFD= =60°，

∴∠FCD=90°﹣∠CFD=30°，

∴∠ACD+∠ACF=30°，

∴∠ECF=∠ECA﹣∠ACF=60°﹣∠ACF=60°﹣（30°﹣∠ACD）=30°+∠ACD，

如圖1，

延長AD，在AD上截取AD=DK，連接CK，

∵AD⊥BC，

∴∠ACD=∠KCD，CA=CK

∴∠FCK=∠FCD+∠KCD=∠ACF+∠ACD+∠KCD=30°+∠KCD=30°+∠ACD，

∴∠FCK=∠ECF，

∵AC=CE，AC=CK，

∴CK=CE，

在△CFE和△CFK中， ，

∴△CFE≌△CFK，

∴FE=FK=FD+DK，

∵AD=DK，

∴FE=FD+AD；

（2）

解：結論：EF=FA+AD，

如圖2，

∵以AC為邊作等邊三角形ACE，

∴∠EAC=60°，

同（2）①的方法有，∠ACF=∠AEF，

∴∠EFC=∠EAC=60°，

同（2）①方法得，BF=CF，FD⊥BC，

∴∠BFD=∠CFD，

∵∠BFD+∠CFD+∠EFC=180°，

∴∠BFD=∠CFD= =60°，

∴∠FCD=90°﹣∠CFD=30°，

∴∠ACD﹣∠ACF=30°，

∴∠ECF=∠ECA+∠ACF=60°+∠ACF=60°+（∠ACD﹣30°）=30°+∠ACD，

延長AD，在AD上截取AD=DK，連接CK，

∵AD⊥BC，

∴∠ACD=∠KCD，CA=CK

∴∠FCK=∠FCD+∠KCD=∠ACD﹣∠ACF+∠KCD=30°+∠KCD=30°+∠ACD，

∴∠FCK=∠ECF，

∵AC=CE，AC=CK，

∴CK=CE，

在△CFE和△CFK中， ，

∴△CFE≌△CFK，

∴FE=FK=FD+DK，

∵AD=DK，

∴FE=FD+AD；

【解析】（1）①利用中垂線得到∠FBC=∠FCB，從而得到∠FBA=∠FCA，再由等邊三角形的性質得到∠ABF=∠AEF即可；②先得到∠EFC=∠EAC=60°，從而判斷出∠ACD+∠ACF=30°，進而得出∠FCK=∠ECF，判斷出△CFE≌△CFK，即可；（2）先得到∠EFC=∠EAC=60°，從而判斷出∠ACD﹣∠ACF=30°，進而得出∠FCK=∠ECF，判斷出△CFE≌△CFK，即可；
【考點精析】關于本題考查的三角形三邊關系，需要了解三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊；不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊才能得出正確答案．