Question

【題目】探究證明：

（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點E是BC上的一個動點，EG⊥AB，EF⊥AC，CD⊥AB，點G，F，D分別是垂足．求證：CD=EG+EF；

猜想探究：

（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，點E是BC的延長線上的一個動點，EG⊥AB于G，EF⊥AC交AC延長線于F，CD⊥AB于D，直接猜想CD、EG、EF之間的關系為 CD=EG﹣EF ；

問題解決：

（3）如圖3，邊長為10的正方形ABCD的對角線相交于點O、H在BD上，且BH=BC，連接CH，點E是CH上一點，EF⊥BD于點F，EG⊥BC于點G，則EF+EG= ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）CD=EG﹣EF，

（3）5．

【解析】

試題分析：（1）根據S△ABC=S△ABE+S△ACE，得到ABCD=ABEG+ACEF，根據等式的性質即可得到結論；

（2）由于S△ABC=S△ABE﹣S△ACE，于是得到ABCD=ABEG﹣ACEF，根據等式的性質即可得到結論；

（3）根據正方形的性質得到AB=BC=10，∠ABC=90°，AC⊥BD，根據勾股定理得到AC=10，由于S△BCH=S△BCE+S△BHE，得到BHOC=BCEG+BHEF，根據等式的性質即可得到結論．

試題解析：（1）如圖1，連接AE，

∵EG⊥AB，EF⊥AC，CD⊥AB，

∵S△ABC=S△ABE+S△ACE，

∴ABCD=ABEG+ACEF，

∵AB=AC，

∴CD=EG+EF；

（2）CD=EG﹣EF，

理由：連接AE，

∵EG⊥AB，EF⊥AC，CD⊥AB，

∵S△ABC=S△ABE﹣S△ACE，

∴ABCD=ABEG﹣ACEF，

∵AB=AC，

∴CD=EG﹣EF；

故答案為：CD=EG﹣EF；

（3）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=10，∠ABC=90°，AC⊥BD，

∴AC=10，

∴OC=AC=5，

連接BE．

∵EF⊥BD于點F，EG⊥BC于點G，

∵S△BCH=S△BCE+S△BHE，

∴BHOC=BCEG+BHEF，

∴OC=EG+EF=5，

故答案為：5．