Question

【題目】定義： 數學活動課上，李老師給出如下定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱這個三角形為“智慧三角形”．
理解：
（1）如圖1，已知A、B是⊙O上兩點，請在圓上找出滿足條件的點C，使△ABC為“智慧三角形”（畫出點C的位置，保留作圖痕跡）；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一點，且CF= CD，試判斷△AEF是否為“智慧三角形”，并說明理由； 運用：

（3）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，點Q是直線y=3上的一點，若在⊙O上存在一點P，使得△OPQ為“智慧三角形”，當其面積取得最小值時，直接寫出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1所示

（2）解：△AEF是否為“智慧三角形”，

理由如下：設正方形的邊長為4a，

∵E是DC的中點，

∴DE=CE=2a，

∵BC：FC=4：1，

∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，

在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，

在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，

在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，

∴AE2+EF2=AF2，

∴△AEF是直角三角形，

∵斜邊AF上的中線等于AF的一半，

∴△AEF為“智慧三角形”；

（3）解：如圖3所示：

由“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形，

根據題意可得一條直角邊為1，當斜邊最短時，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，

由垂線段最短可得斜邊最短為3，

由勾股定理可得PQ= =2 ，

PM=1×2 ÷3= ，

由勾股定理可求得OM= = ，

故點P的坐標（﹣ ， ），（ ， ）．

【解析】（1）連結AO并且延長交圓于C1 ， 連結BO并且延長交圓于C2 ， 即可求解；（2）設正方形的邊長為4a，表示出DF=CF以及EC、BE的長，然后根據勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2 ， 再根據勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性質可得△AEF為“智慧三角形”；（3）根據“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形，根據題意可得一條直角邊為1，當斜邊最短時，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為3，根據勾股定理可求另一條直角邊，再根據三角形面積可求斜邊的高，即點P的橫坐標，再根據勾股定理可求點P的縱坐標，從而求解．