Question

如圖，圓O的直徑為5，在圓O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，已知BC：CA=4： 3，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點．

（1）求證：AC·CD=PC·BC；
（2）當點P運動到AB弧中點時，求CD的長；
（3）當點P運動到什么位置時，△PCD的面積最大？并求出這個最大面積S。

Answer 1

（1）見解析（2）（3）

（1）由題意，AB是⊙O的直徑；∴∠ACB=90^。，∵CD⊥CP，∴∠PCD=90^。
∴∠ACP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90^。，∴∠ACP=∠DCB，又∵∠CBP=∠D+∠DCB，∠CBP=∠ABP+∠ABC，∴∠ABC=∠APC，∴∠APC＝∠D，∴△PCA∽△DCB；∴，∴AC·CD=PC·BC
（2）當P運動到AB弧的中點時,連接AP，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB=90^。，又∵P是弧AB的中點，∴弧PA=弧PB，∴AP=BP，∴∠PAB=∠PBA=45^.,又AB=5，∴PA=，過A作AM⊥CP，垂足為M，在Rt△AMC中，∠ACM=45，∴∠CAM=45，∴AM=CM=，在Rt△AMP中，AM²+AP²=PM²，∴PM=，∴PC=PM+=。由（1）知：AC·CD=PC·BC ，3×CD=PC×4，∴CD＝
（3）由（1）知：AC·CD=PC·BC，所以AC：BC=CP：CD；
所以CP：CD=3：4，而△PCD的面積等于·=，
CP是圓O的弦，當CP最長時，△PCD的面積最大，而此時C
P就是圓O的直徑；所以CP=5，∴3：4=5：CD；
∴CD=，△PCD的面積等于·==；
（1）通過求證△PCA∽△DCB，即可求證AC·CD=PC·BC
（2）當P運動到AB弧的中點時,連接AP，求出PA，過A作AM⊥CP，垂足為M，求出AM，
從而求出PC ,由（1）可知CD的長
（3）當CP最長時，即為圓的直徑，△PCD的面積最大，由（1）可求得CD的長，從而求出△PCD的面積