Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與y軸相交于點A（0，3），與x正半軸相交于點B，對稱軸是直線x=1

（1）求此拋物線的解析式以及點B的坐標．
（2）動點M從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向運動，同時動點N從點O出發，以每秒3個單位長度的速度沿y軸正方向運動，當N點到達A點時，M、N同時停止運動．過動點M作x軸的垂線交線段AB于點Q，交拋物線于點P，設運動的時間為t秒．
①當t為何值時，四邊形OMPN為矩形．
②當t＞0時，△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵拋物線y=﹣x2+bx+c對稱軸是直線x=1，

∴﹣ =1，解得b=2，

∵拋物線過A（0，3），

∴c=3，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，

令y=0可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，

∴B點坐標為（3，0）；

（2）

①由題意可知ON=3t，OM=2t，

∵P在拋物線上，

∴P（2t，﹣4t2+4t+3），

∵四邊形OMPN為矩形，

∴ON=PM，

∴3t=﹣4t2+4t+3，解得t=1或t=﹣ （舍去），

∴當t的值為1時，四邊形OMPN為矩形；

②∵A（0，3），B（3，0），

∴OA=OB=3，且可求得直線AB解析式為y=﹣x+3，

∴當t＞0時，OQ≠OB，

∴當△BOQ為等腰三角形時，有OB=QB或OQ=BQ兩種情況，

由題意可知OM=2t，

∴Q（2t，﹣2t+3），

∴OQ= = ，BQ= = |2t﹣3|，

又由題意可知0＜t＜1，

當OB=QB時，則有 |2t﹣3|=3，解得t= （舍去）或t= ；

當OQ=BQ時，則有 = |2t﹣3|，解得t= ；

綜上可知當t的值為 或 時，△BOQ為等腰三角形．

【解析】（1）由對稱軸公式可求得b，由A點坐標可求得c，則可求得拋物線解析式；再令y=0可求得B點坐標；（2）①用t可表示出ON和OM，則可表示出P點坐標，即可表示出PM的長，由矩形的性質可得ON=PM，可得到關于t的方程，可求得t的值；②由題意可知OB=OA，故當△BOQ為等腰三角形時，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q點的坐標，則可表示出OQ和BQ的長，分別得到關于t的方程，可求得t的值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．