Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在△ABC外側作直線CP，點A關于直線CP的對稱點為D，連接AD，BD，其中BD交直線CP于點E．

（1）如圖1，∠ACP=15°．

①依題意補全圖形；

②求∠CBD的度數(shù)；

（2）如圖2，若45°＜∠ACP＜90°，直接用等式表示線段AC，DE，BE之間的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②30°；（2）DE2+BE2=2AC2，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意作圖，進而求∠CBD的度數(shù)（2）由45°＜∠ACP＜90°，根據(jù)題意和圖形可得DE2+BE2=2AC2 .

（1）如圖1所示，

（2）如圖1，連接CD，

∵點A關于直線CP的對稱點為D，

∴CP是AD的垂直平分線，

∴CD=AC，∠DCP=∠ACP=15°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCD=90°+15°+15°=120°，

∵AC=BC=CD，

∴∠CBD=∠CDB=30°，

（3）DE2+BE2=2AC2，

理由是：如圖2，連接CD、AE，

∵DC=BC=AC，

∴∠CDB=∠CBD=∠CAE，

∵∠CGA=∠EGB，

∴∠GEB=∠ACB=90°，

∴AE2+BE2=AB2，

∵CP是AD的垂直平分線，

∴ED=AE，

∴DE2+BE2=AB2，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB2=AC2+BC2，且AC=BC，

∴DE2+BE2=2AC2．