Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，D是AC邊上一點，E是BC延長線上一點，連接DE.

（1）如圖1，若點D是AC中點，且DB=DE. 求證：AD=CE.

（2）如圖2，若點D是AC邊上任意一點，且DB=DE，則（1）中結論是否成立，如成立，請證明；如不成立，請說明理由.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）結論成立，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根據等腰三角形性質求出AD=DC，即可得出答案；（2）過D作DF∥BC，交AB于F，證△BFD≌△DCE，推出DF=CE，證△ADF是等邊三角形，推出AD=DF，即可得出答案．

試題解析：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形

∠ABC=∠ACB=60°

∵△ABC是等邊三角形，點D為AC中點

∴BD平分∠ABC，AD =CD

∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°

∵DB=DE

∴∠E=∠DBC=30°

又∵∠ACB是△DCE的外角

∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°

∴∠CDE=∠E

∴CD=CE

∴CE=AD

(2) 過點D作DF∥BC交AB于F

∵△ABC是等邊三角形

∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC

∵DF∥BC

∴∠AFD=∠ABC=60°,∠ADF=∠ACB=60°

即∠A=∠AFD=∠ADF

∴△AFD是等邊三角形

∴AF=FD=AD

∴AB-AF=AC-AD

即BF=CD

∵DB=DE

∴∠E=∠DBC

∴∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠E

即∠ABD=∠CDE

∴△FBD≌△CDE

∴CE=DF

∴CE=AD