Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+ x+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)M、交x軸于點(diǎn)F，當(dāng)S△BEC= 時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)E和點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1時(shí)，在EM上是否存在點(diǎn)N，使得△CMN和△CBE相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，0），

∵y=ax2+ x+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，

∴ ，解得： ，

∴y=﹣ x2+ x+3．

（2）

解：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M，EF交x軸于點(diǎn)F，

∵點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（x，﹣ x2+ x+3），

則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，﹣x+3），

∴EM=﹣ x2+ x+3﹣（﹣x+3）=﹣ x2+ x，

∴S△BEC=S△BEM+S△MEC= EMOC= ×（﹣ x2+ x）×3=﹣ x2+ x，

∴﹣ x2+ x= ，

解得，x1=1，x2=2，

即點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，3）或（2，2），

此時(shí)對(duì)應(yīng)的M的坐標(biāo)是（1，2）或（2，1）．

（3）

解：存在．

∵B（0，3）、E（1，3），

∴BE=1，且BE∥OC，

由（1）知OB=OC=3，

∴∠BCO=∠CBE=∠CMN=45°，

∴CB=3 ，CM=2 ，

①當(dāng) = 時(shí)，△CMN∽△CBE，

即 = ，得MN= ，

∴FN= ，

∴N（1， ）；

②當(dāng) = 時(shí)，△CMN∽△EBC，

即 = ，得MN=12，

∴FN=﹣10，

N′（1，﹣10），

∴在EM上存在符合條件的點(diǎn)N，其坐標(biāo)為（1， ）或（1，﹣10）．

【解析】（1）由直線y=﹣x+3求得點(diǎn)B、C坐標(biāo)，代入拋物線解析式求得b、c即可得；（2）設(shè)E（x，﹣ x2+ x+3），則M（x，﹣x+3），可知EM=﹣ x2+ x，根據(jù)S△BEC=S△BEM+S△MEC= EMOC= 列出關(guān)于x的方程，解之可得答案；（3）由題意得出∠BCO=∠CBE=∠CMN=45°、BE=1、CB=3 、CM=2 ，根據(jù) = 和 = 分別求出MN即可得．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．