Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，以點A（0，-3）為圓心，5為半徑作圓A，交x軸于B、C兩點，交y軸于點D、E兩點．

（1）如果一個二次函數圖象經過B、C、D三點，求這個二次函數的解析式；
（2）設點P的坐標為（m，0）(m>5),過點P作x軸交（1）中的拋物線于點Q，當以為頂點的三角形與相似時，求點P的坐標．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）利用垂徑定理求得線段OB和OC的長，從而求得B、C兩點的坐標，利用待定系數法求得二次函數的解析式即可；
（2）作出圖形利用相似三角形的對應邊成比例列出有關未知數m的方程求解即可．
（1）連接AC，

∵以點A（0，-3）為圓心，5為半徑作圓A，交x軸于B、C兩點，交y軸于D、E兩點．
∴AC=5、AO=3，
∴由勾股定理得：OC=OB=4
∴點B的坐標為（-4，0），點C的坐標為（4，0），點D的坐標為（0，2）．
∵對稱軸為y軸，
∴設二次函數的解析式為y=ax²+c


∴經過B、C、D三點的二次函數的解析式為；
（2）∵P的坐標為（m，0）（m＞5），
∴Q點的坐標為（m，）
∴PC=m-4，PQ=
∵以O、C、D為頂點的三角形與△PCQ相似，
①當△ODC∽△PCQ時，


解得：m=12或m=4（因m＞5，故舍去）
②當△OCD∽△PCQ時，


解得：m=0或4（因m＞5，故舍去）
∴P點的坐標為：（12，0）．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，題目比較典型．