Question

【題目】把幾個數用大括號括起來,相鄰兩個數之間用逗號隔開,如：{2，3}，{4，5，6}，…，我們稱之為集合，其中每一個數稱為該集合的元素，如果一個所有元素均為有理數的集合滿足：當有理數x是集合的一個元素時，2019x也必是這個集合的元素，這樣的集合我們又稱為黃金集合，例如{0，2019}就是一個黃金集合，

(1)集合{2019}_____黃金集合，集合{1，2020}_____黃金集合.(填“是”或“不是”)

(2)若一個黃金集合中最大的一個元素為4019，則該集合是否存在最小的元素?如果存在，請求出這個最小元素，否則說明理由；

(3)若一個黃金集合中所有元素之和為整數M，且16150<M<16155，則該黃金集合中共有多少個元素?請說明你的理由.

Answer 1

【答案】(1)不是，是；(2)最小的元素是2000；(3)共有16個元素.

【解析】

（1）根據定義有理數2019是集合的元素時，2019-2019=0也必是這個集合的元素，而0不在集合內，當20192020=1時可知，-1在集合內，則問題可解；
（2）根據定義，集合中較小的數為2019-4019=-2000；
（3）根據題意可知黃金集合都是成對出現的，并且這對對應元素的和為2019，然后通過估算即可解答本題．

解：(1)根據題意可得,20192019=0,而集合{2019}中沒有元素0,故{2019}不是黃金集合；

∵20192020=1，

∴集合{1,2020}是黃金集合。

故答案為：不是，是

(2)一個黃金集合中最大的一個元素為4019，則該集合存在最小的元素，該集合最小的元素是2000.

∵2019a中a的值越大，則2019a的值越小，

∴一個黃金集合中最大的一個元素為4019，則最小的元素為：20194019=2000.

(3)該集合共有16個元素。

理由：∵在黃金集合中，如果一個元素為a，則另一個元素為2019a，

∴黃金集合中的元素一定是偶數個.

∵黃金集合中的每一對對應元素的和為：a+2019a=2019，2019×8=16152，2019×9=18171，

又∵一個黃金集合所有元素之和為整數M，且16150<M<16155，

∴這個黃金集合中的元素個數為：8×2=16(個).