Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是正方形，動點P從點A出發，以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運動到D終止；動點Q從A出發，以1cm/s的速度沿邊AD勻速運動到D終止，若P、Q兩點同時出發，運動時間為ts，△APQ的面積為Scm2 ． S與t之間函數關系的圖象如圖2所示．

（1）求圖2中線段FG所表示的函數關系式；
（2）當動點P在邊AB運動的過程中，若以C、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，求t的值；
（3）是否存在這樣的t，使PQ將正方形ABCD的面積恰好分成1：3的兩部分？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，可知題圖2中點E表示點P運動至點B時的情形，

所用時間為2s，則正方形的邊長AB=2×2=4cm．

點Q運動至點D所需時間為：4÷1=4s，點P運動至終點D所需時間為12÷2=6s．

因此在FG段內，點Q運動至點D停止運動，點P在線段CD上繼續運動，且時間t的取值范圍為4≤t≤6．

故S= ×4×（12﹣2t）=﹣4t+24，

∴FG段的函數表達式為S=﹣4t+24（4≤t≤6）．

（2）

解：①若CP=CQ，則DQ=PB，顯然不成立

②若PC=PQ，則（4﹣2t）2+42=5t2，解得 ， （舍去）

③若QC=QP，則（4﹣t）2+42=5t2，解得t1=2，t2=﹣4（舍去）

綜上所述，當 或t=2時，以C、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形．

（3）

解：假設存在這樣的t，使PQ將正方形ABCD的面積恰好分成1：3的兩部分．

易得正方形ABCD的面積為16．

①當點P在AB上運動時，PQ將正方形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，

如圖3所示，根據題意，得 ，解得t=2；

②當點P在BC上運動時，PQ將正方形ABCD分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如圖4所示．根據題意，得 （2t﹣4+t）×4= ×16，

解得t= ．

∴存在t=2和t= ，使PQ將正方形ABCD的面積恰好分成1：3的兩部分．

【解析】（1）函數圖象中線段FG，表示點Q運動至終點D之后停止運動，而點P在線段CD上繼續運動的情形．求出S的表達式，并確定t的取值范圍；（2）分CP=CQ、PC=PQ、QC=QP三種情況討論即可確定答案；（3）當點P在AB上運動時，PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，求出t的值；
當點P在BC上運動時，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，求出t的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的圖象的相關知識，掌握函數的圖像是由直角坐標系中的一系列點組成；圖像上每一點坐標（x，y）代表了函數的一對對應值，他的橫坐標x表示自變量的某個值，縱坐標y表示與它對應的函數值，以及對等腰三角形的性質的理解，了解等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．