Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線，交AB于點E，交CA的延長線于點F．
（1）求證：EF⊥AB；
（2）若∠C=30°，EF= ，求EB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD、OD

，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

又∵AB=AC，

∴CD=DB，又CO=AO，

∴OD∥AB，

∵FD是⊙O的切線，

∴OD⊥EF，

∴FE⊥AB

（2）解：∵∠C=30°，

∴∠AOD=60°，

∴∠F=30°，

∴OA=OD= OF，

∵∠AEF=90°EF= ，

∴AE= ，

∵OD∥AB，OA=OC=AF，

∴OD=2AE=2 ，AB=2OD=4 ，

∴EB=3

【解析】（1）連接AD、OD，根據直徑所對的圓周角是直角求出∠ADC=90°，根據等腰三角形的性質證明D是BC的中點，得到OD是△ABC的中位線，根據切線的性質證明結論；（2）根據三角形的內角和得到∠AOD=60°，∠F=30°，根據直角三角形的性質得到OA=OD= OF，求得AE= 根據平行線等分線段定理得到OD=2AE=2 ，AB=2OD=4 ，由線段的和差即可得到結論．