Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=c，AC=b．AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，EF與AD相交于O，已知△ADC的面積為1．

（1）證明：DE=DF；

（2）試探究線段EF和AD是否垂直？并說明理由；

（3）若△BDE的面積是△CDF的面積2倍．試求四邊形AEDF的面積．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) 垂直，理由詳見解析；（3）四邊形AEDF的面積為4﹣．

【解析】

（1）由角平分線的性質直接可得到DE＝DF；

（2）可證明△AED≌△AFD，可知AE＝AF，利用線段垂直平分線的判定可證明AD是EF的垂直平分線，可證得結論；

（3）設△CDF的面積為x，則可分別表示出△BED、△ADE的面積，利用三角形的面積可分別表示出DE和DF，根據DE＝DF可得到關于x的方程，可求得x的值，進一步可求得四邊形AEDF的面積．

（1）∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF（角平分線的性質）；

（2）垂直．理由如下：

∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠FAD．

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°．

在Rt△AED和Rt△AFD中，∵

，∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS），∴AE＝AF，∴點A在線段EF的垂直平分線上，同理點D也在線段EF的垂直平分線上，∴AD⊥EF；

（3）設S△CDF＝x，則S△BDE＝2x．

∵S△ACD＝1，且△AED≌△AFD，∴S△AED＝S△AFD＝1﹣x，∴S△ABD＝S△BDE+S△AED＝2x+1﹣x＝x+1，又S△ABDABDE，S△ACDACDF，且AB＝c，AC＝b，∴cDE＝x+1，bDF＝1，∴DE，DF，又由（1）可知DE＝DF，∴，解得：x1．

∵△AED≌△AFD，∴S△AED＝S△AFD＝S△ACD﹣S△CDF＝1﹣x，∴S四邊形AEDF＝2S△AED＝2（1﹣x）＝2[1﹣（1）]＝4，即四邊形AEDF的面積為4．