Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，點分別在軸正半軸和軸正半軸上，且，點從原點出發以每秒個單位長度的速度沿x軸正半軸方向運動．

（1）求點的坐標．

（2）連接設三角形的面積為，點的運動時間為，請用含的式子表示并直接寫出的取值范圍．

（3）當點在上運動時，將線段沿軸正方向平移，使點與點重合，點的對應點為點，連接，將線段沿軸正方向平移，使點與點重合，點的對應點為點，取的中點是否存在的值，使三角形的面積等于三角形的面積？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）存在的值，使三角形的面積等于三角形的面積，秒或秒

【解析】

（1）根據絕對值的非負性、平方的非負性得到關于、的方程組，解方程組即可得解；

（2）根據題意可知需對點的位置進行分類討論，分別畫出相應的圖形，然后再分別表示出其相應的關系式以及自變量的取值范圍即可；

（3）在（2）的基礎上對點的位置進行分類討論，分別按要求畫出相應的圖形，然后分別使，從而得到關于的方程，解方程即可得解．

解：（1）∵

∴

∴

∴，；

（2）∵，

∴，

①當點在線段上時，如圖：

∵點從原點出發以每秒個單位長度的速度沿軸正半軸方向運動

∴點運動了秒時，

∴

∴

∵點在線段上

∴

∴當點在線段上時，；

②當點在線段延長線上時，如圖：

∵點從原點出發以每秒個單位長度的速度沿軸正半軸方向運動

∴點運動了秒時，

∴

∴

∵點在線段延長線上

∴

∴當點在線段延長線上時，

∴綜上所述，；

（3）∵，，

∴

∵點是的中點

∴

∵過點作于點

∴，

∴

①當點在線段上時，，如圖：

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴秒；

②當點在線段延長線上時，，如圖：

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴秒；

∴綜上所述，存在的值，使三角形的面積等于三角形的面積，秒或秒．