Question

【題目】如圖，AB∥CD，點E，F分別在AB，CD上，連接EF，∠AEF、∠CFE的平分線交于點G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點H．

（1）求證：四邊形EGFH是矩形；

（2）小明在完成（1）的證明后繼續進行了探索，過G作MN∥EF，分別交AB，CD于點M，N，過H作PQ∥EF，分別交AB，CD于點P，Q，得到四邊形MNQP，此時，他猜想四邊形MNQP是菱形，請在下列框中補全他的證明思路．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）答案不唯一，例如：FG平分∠CFE；GE=FH；∠GME=∠FQH；∠GEF=∠EFH．

【解析】

試題分析：（1）利用角平分線的定義結合平行線的性質得出∠FEH+∠EFH=90°，進而得出∠GEH=90°，進而求出四邊形EGFH是矩形；

（2）利用菱形的判定方法首先得出要證MNQP是菱形，只要證MN=NQ，再證∠MGE=∠QFH得出即可．

試題解析：（1）∵EH平分∠BEF，∴∠FEH=∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH=∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°，∴∠FEH+∠EFH=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°，∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，∴∠EHF=180°﹣（∠FEH+∠EFH）=180°﹣90°=90°，同理可得：∠EGF=90°，∵EG平分∠AEF，∴∠EFG=∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH=∠BEF，∵點A、E、B在同一條直線上，∴∠AEB=180°，即∠AEF+∠BEF=180°，∴∠FEG+∠FEH=（∠AEF+∠BEF）=×180°=90°，即∠GEH=90°，∴四邊形EGFH是矩形；

（2）答案不唯一：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，

要證MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件：FG平分∠CFE，MN∥EF，

故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證 GE=FH、∠GME=∠FQH．

故只要證∠MGE=∠QFH，易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得證．