Question

【題目】如圖，在ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊AD的延長線上，且DF=BE，EF與CD交于點G．

（1）求證：BD∥EF；
（2）若 = ，BE=4，求EC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

∵DF=BE，

∴四邊形BEFD是平行四邊形，

∴BD∥EF；

（2）解：∵四邊形BEFD是平行四邊形，

∴DF=BE=4．

∵DF∥EC，

∴△DFG∽CEG，

∴ = ，

∴CE= =4× =6．

【解析】（1）由平行四邊形的性質得出AD∥BC，又DF=BE，，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形BEFD是平行四邊形，再利用平行四邊形的對邊平行得出BD∥EF；
（2）根據平行四邊形的性質得出DF=BE=4．根據平行于三角形一邊的直線截其它兩邊的延長線，所得的三角形與原三角形相似得出△DFG∽CEG，再由相似三角形對應邊成比例得出結論。
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．