Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，AB=4，矩形OBDC的邊CD=1，延長DC交拋物線于點E．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點P是直線EO上方拋物線上的一個動點，過點P作y軸的平行線交直線EO于點G，作PH⊥EO，垂足為H．設PH的長為l，點P的橫坐標為m，求l與m的函數關系式（不必寫出m的取值范圍），并求出l的最大值；

（3）如果點N是拋物線對稱軸上的一點，拋物線上是否存在點M，使得以M，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵矩形OBDC的邊CD=1，

∴OB=1，

∵AB=4，

∴OA=3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2﹣ x+2；

（2）

解：在y=﹣ x2﹣ x+2中，令y=2可得2=﹣ x2﹣ x+2，解得x=0或x=﹣2，

∴E（﹣2，2），

∴直線OE解析式為y=﹣x，

由題意可得P（m，﹣ m2﹣ m+2），

∵PG∥y軸，

∴G（m，﹣m），

∵P在直線OE的上方，

∴PG=﹣ m2﹣ m+2﹣（﹣m）=﹣ m2﹣ m+2=﹣ （m+ ）2+ ，

∵直線OE解析式為y=﹣x，

∴∠PGH=∠COE=45°，

∴l(xiāng)= PG= [﹣ （m+ ）2+ ]=﹣ （m+ ）2+ ，

∴當m=﹣ 時，l有最大值，最大值為 ；

（3）

解：①當AC為平行四邊形的邊時，則有MN∥AC，且MN=AC，如圖，過M作對稱軸的垂線，垂足為F，設AC交對稱軸于點L，

則∠ALF=∠ACO=∠FNM，

在△MFN和△AOC中

∴△MFN≌△AOC（AAS），

∴MF=AO=3，

∴點M到對稱軸的距離為3，

又y=﹣ x2﹣ x+2，

∴拋物線對稱軸為x=﹣1，

設M點坐標為（x，y），則|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，

當x=2時，y=﹣ ，當x=﹣4時，y= ，

∴M點坐標為（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）；

②當AC為對角線時，設AC的中點為K，

∵A（﹣3，0），C（0，2），

∴K（﹣ ，1），

∵點N在對稱軸上，

∴點N的橫坐標為﹣1，

設M點橫坐標為x，

∴x+（﹣1）=2×（﹣ ）=﹣3，解得x=﹣2，此時y=2，

∴M（﹣2，2）；

綜上可知點M的坐標為（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）或（﹣2，2）．

【解析】（1）由條件可求得A、B的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）可先求得E點坐標，從而可求得直線OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的長，從而可表示出l的長，再利用二次函數的性質可求得其最大值；（3）分AC為邊和AC為對角線，當AC為邊時，過M作對稱軸的垂線，垂足為F，則可證得△MFN≌△AOC，可求得M到對稱軸的距離，從而可求得M點的橫坐標，可求得M點的坐標；當AC為對角線時，設AC的中點為K，可求得K的橫坐標，從而可求得M的橫坐標，代入拋物線解析式可求得M點坐標．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)．