Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝30°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE＝30°，DE交線段AC于點E.

（1）D點運動到圖1位置時，∠BDA＝75°，則∠EDC＝______，∠DEC＝________；

（2）D點運動到圖2位置時，當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；

（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀也在變化，判斷當△ADE是等腰三角形時，∠BDA等于多少度（請直接寫出結果）.

Answer 1

【答案】（1）75°，75°；（2）DC=3，理由見解析；（3）當△ADE是等腰三角形時，∠BDA度數為105°或60°.

【解析】

（1）根據三角形內角和與三角形外角等于與其不相鄰兩內角的和的關系進行求解即可；

（2）根據全等三角形的性質及判定定理綜合運用求解即可；

（3）根據△ADE是等腰三角形，分①當AD=AE，②DA=DE，③EA=ED三種情況進行討論即可.

（1）∵∠BDA=75°，

∴∠ADC=105°，

又∵∠ADE=30°，

∴∠EDC=75°，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠C=∠B=30°，

∴∠DEC=75°，

所以答案為75°，75°；

（2）當DC=3時，△ABD≌△DCE，

∵AB=AC=3，∠B=30°，

∴∠C=30°，

∵CD=CA=3，

∴∠CAD=∠CDA=75°，

∴∠ADB=105°，∠EDC=45°，

∴∠DEC=105°，

∴∠ADB=∠DEC,

在△ABD與△DCE中，

∵∠ADB=∠DEC，AB=DC，∠B=∠C，

∴△ABD≌△DCE；

（3）①當AD=AE時，∠ADE=30°，

∴∠AED=∠ADE=30°，∠DAE=120°，

∵∠BAC=120°，D不與B、C重合，

∴AD≠AE；

②當DA=DE時，∠ADE=30°，

∴∠DAE=∠DEA=75°，

∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=105°；

③當EA=ED時，∠ADE=30°，

∴∠EAD=∠EDA=30°，

∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=120°，

∴∠BDA=∠DEC=60°.

綜上所述，當△ADE是等腰三角形時，∠BDA度數為105°或60°.