Question

已知函數y=mx²－6x＋1（m是常數）．
⑴求證：不論m為何值，該函數的圖象都經過y軸上的一個定點；
⑵若該函數的圖象與x軸只有一個交點，求m的值．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）0或9．

試題分析：此題考查了拋物線與x軸的交點或一次函數與x軸的交點，是典型的分類討論思想的應用．（1）根據解析式可知，當x=0時，與m值無關，故可知不論m為何值，函數y=mx2-6x+1的圖象都經過y軸上一個定點（0，1）．（2）應分兩種情況討論：①當函數為一次函數時，與x軸有一個交點；②當函數為二次函數時，利用根與系數的關系解答．
試題解析：
解：（1）∵當x=0時，y=1．
∴不論m為何值，函數y=mx²-6x+1的圖象都經過y軸上一個定點（0，1）；
（2）①當m=0時，函數y=-6x+1的圖象與x軸只有一個交點；
②當m≠0時，若函數y=mx²-6x+1的圖象與x軸只有一個交點，則方程mx²-6x+1=0有兩個相等的實數根，
所以△=（-6）²-4m=0，m=9．
綜上，若函數y=mx²-6x+1的圖象與x軸只有一個交點，則m的值為0或9．