Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c(a＞0)的圖象經過點B(12,0)和C(0，-6），對稱軸為x=2.

(1)求該拋物線的解析式；
(2)點D在線段AB上且AD=AC，若動點P從A出發沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時另一動點Q以某一速度從C出發沿線段CB勻速運動，問是否存在某一時刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間t（秒）和點Q的運動速度；若不存在，請說明理由；
(3)在（2）的結論下，直線x=1上是否存在點M，使△MPQ為等腰三角形？若存在，請求出所有點M的坐標；若不存在請說明理由.

Answer 1

(1) y=x²－x－6(2) (3)見解析

試題分析：（1）把點B、C的坐標代入拋物線解析式，根據對稱軸解析式列出關于a、b、c的方程組，求解即可；（2）根據拋物線解析式求出點A的坐標，再利用勾股定理列式求出AC的長，然后求出OD，可得點D在拋物線對稱軸上，根據線段垂直平分線上的性質可得∠PDC=∠QDC，PD=DQ，再根據等邊對等角可得∠PDC=∠ACD，從而得到∠QDC=∠ACD，再根據內錯角相等，兩直線平行可得PQ∥AC，再根據點D在對稱軸上判斷出DQ是△ABC的中位線，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DQ=AC，再求出AP，然后根據時間=路程÷速度求出點P運動的時間t，根據勾股定理求出BC，然后求出CQ，根據速度=路程÷時間，計算即可求出點Q的速度．（3）假設存在這樣的點M，使得△MPQ為等腰三角形，那么就需要要分類討論：①當MP=MQ，即M為頂點；②；當PQ為等腰△MPQ的腰時，且P為頂點；③當PQ為等腰△MPQ的腰時，且Q為頂點.進行分類求解即可.
試題解析：解：方法一：∵拋物線過C(0,-6)
∴c=－6, 即y=ax²+bx－6
由 ，解得：a= ,b=－
∴該拋物線的解析式為y=x²－x－6；
方法二：∵A、B關于x=2對稱
∴A（－8，0），設y=a(x＋8)(x－12) 
C在拋物線上，∴－6=a×8×(－12) 即a=
∴該拋物線的解析式為：y=x²－x－6.
（2）存在，設直線CD垂直平分PQ,
在Rt△AOC中，AC==10=AD
∴點D在對稱軸上，連結DQ 顯然∠PDC=∠QDC，
由已知∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，∴DQ∥AC，
DB=AB－AD=20-10=10
∴DQ為△ABC的中位線，∴DQ=AC=5.
AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5
∴t=5÷1=5(秒) 
∴存在t=5(秒)時，線段PQ被直線CD垂直平分,
在Rt△BOC中, BC==6 ∴CQ=3 
∴點Q的運動速度為每秒單位長度.
（3）存在 過點Q作QH⊥x軸于H，則QH=3，PH=9
在Rt△PQH中，PQ==3.
①當MP=MQ，即M為頂點，
設直線CD的直線方程為：y=kx+b(k≠0),則：
  ,解得：.
∴y=3x-6
當x=1時，y=－3 , ∴M₁(1, －3).
②當PQ為等腰△MPQ的腰時，且P為頂點.
設直線x=1上存在點M(1,y) ,由勾股定理得：
4²+y²=90  即y=±
∴M₂（1，）   M₃（1，－）.
③當PQ為等腰△MPQ的腰時，且Q為頂點.
過點Q作QE⊥y軸于E，交直線x=1于F，則F(1, －3)
設直線x=1存在點M(1,y), 由勾股定理得：
(y＋3)²+5²=90 即y=－3±
∴M₄(1, －3＋)   M₅((1, －3－) .
綜上所述：存在這樣的五點：
M₁(1, －3),  M₂（1，）,  M₃（1，－）,  M₄(1, －3＋),
M₅((1, －3－)