Question

【題目】已知拋物線y=﹣x2+x+4交x軸于點A、B，交y軸于點C，連接AC、BC．

（1）求交點A、B的坐標以及直線BC的解析式；

（2）如圖1，動點P從點B出發以每秒5個單位的速度向點O運動，過點P作y軸的平行線交線段BC于點M，交拋物線于點N，過點N作NC⊥BC交BC于點K，當△MNK與△MPB的面積比為1：2時，求動點P的運動時間t的值；

（3）如圖2，動點P 從點B出發以每秒5個單位的速度向點A運動，同時另一個動點Q從點A出發沿AC以相同速度向終點C運動，且P、Q同時停止，分別以PQ、BP為邊在x軸上方作正方形PQEF和正方形BPGH（正方形頂點按順時針順序），當正方形PQEF和正方形BPGH重疊部分是一個軸對稱圖形時，請求出此時軸對稱圖形的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+4（2）PB=1，t=（3）①②

【解析】試題分析：（1）令y=0，解方程﹣x2+x+4=0，即可求出A、B坐標，再利用待定系數法求出直線BC．

（2）如圖1中，設P（a，0），只要證明MN=PB，列出方程即可解決問題．

（3）①如圖2中，當軸對稱圖形為箏型時，列出方程求出運動時間即可，②如圖3中，當軸對稱圖形是正方形時，列出方程求出時間即可．

試題解析：（1）令y=0，則﹣x2+x+4=0，解得x=4或﹣3，

∴點A坐標（﹣3，0），點B坐標（4，0），

設直線BC解析式為y=kx+b，把B（4，0）．C（0，4）代入

得，解得，

∴直線BC解析式為y=﹣x+4．

（2）如圖1中，∵PN∥OC，NK⊥BC，

∴∠MPB=∠MKN=90°，

∵∠PMB=∠NMK，

∴△MNK∽△MPB，

∵△MNK與△MPB的面積比為1：2，

∴BM=MN，

∵OB=OC，

∴∠PBM=45°，

∴BM=PB，

∴MN=PB，設P（a，0），則MN=﹣a2+a+4+a﹣4=﹣a2+a，BP=4﹣a，

∴﹣a2+a=4﹣a，

解得a=3或4（舍棄），

∴PB=1，t=．

（3）如圖2中，當軸對稱圖形為箏型時，PF=PG，GM=FM，

∵BP=PG=AQ，PQ=PF，

∴AQ=PQ=5t，

過點Q作QN⊥AP，則AN=NP，由△AQN∽△ACQ，

∴，

∴，

∴AN=3t，

∴AP=2AN=6t，

∵AP+BP=AB，

∴5t+6t=7，

∴t=，

∴PB=PF=，

由△ACO∽△FPR∽△MFT，

∴，

∴FR=，TF=，

∴，

∴FM=，

∴S=2××PF×FM=．

②如圖3中，當軸對稱圖形是正方形時，

3t+5t=7，

∴t=，

∴S=．