Question

【題目】如圖，拋物線y1=2+bx+c與x軸交于點A、B，交y軸于點C（0，﹣2），且拋物線對稱軸x=﹣2交x軸于點D，E是拋物線在第3象限內一動點．

（1）求拋物線y1的解析式；

（2）將△OCD沿CD翻折后，O點對稱點O′是否在拋物線y1上？請說明理由．

（3）若點E關于直線CD的對稱點E′恰好落在x軸上，過E′作x軸的垂線交拋物線y1于點F，①求點F的坐標；②直線CD上是否存在點P，使|PE﹣PF|最大？若存在，試寫出|PE﹣PF|最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2；（2）O點對稱點O′不在拋物線y1上，理由見解析；（3）①F（2，6﹣2）；②直線CD上存在點P，使|PE﹣PF|最大，最大值為6﹣2．

【解析】試題分析：（1）先由拋物線對稱軸方程可求出b=2，再把點C（0，﹣2）代入y1=x2+bx+c可得c=2，所以拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2；

（2）過O′點作O′H⊥x軸于H，如圖1，由（1）得D（﹣2，0），C（0，2），在Rt△OCD中利用三角函數可計算出∠ODC=60°，再利用折疊的性質得O′D=OD=2，∠O′DC=∠ODC=60°，所以∠O′DH=60°，接著在Rt△O′DH中利用三角函數可計算出O′H=，利用勾股定理計算出DH=1，則O′（﹣3，﹣），然后根據二次函數圖象上點的坐標特征判斷O′點是否在拋物線y1上；

（3）①利用二次函數圖象上點的坐標特征設E（m， m2+2m﹣2）（m＜0），過E作EH⊥x軸于H，連結DE，如圖2，則DH=﹣2﹣m，EH=﹣m2﹣2m+2，由（2）得∠ODC=60°，再利用軸對稱性質得DC平分∠EDE′，DE=DE′，則∠EDE′=120°，所以∠EDH=60°，于是在Rt△EDH中利用三角函數的定義可得﹣m2﹣2m+2=（﹣2﹣m），解得m1=2（舍去），m2=﹣4，則E（﹣4，﹣2），接著計算出DE=4，所以DE′=4，于是得到E′（2，0），然后計算x=2時得函數值即可得到F點坐標；

②由于點E關于直線CD的對稱點E′恰好落在x軸，則PE=PE′，根據三角形三邊的關系得|PE′﹣PF|≤E′F（當點P、E′F共線時，取等號），于是可判斷直線CD上存在點P，使|PE﹣PF|最大，最大值為6﹣2．

試題解析：（1）∵拋物線對稱軸x=﹣2，

∴﹣=﹣2，

解得b=2，

∵點C（0，﹣2）在拋物線y1=x2+bx+c上，

∴c=2，

∴拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2；

（2）O點對稱點O′不在拋物線y1上．理由如下：

過O′點作O′H⊥x軸于H，如圖1，由（1）得D（﹣2，0），C（0，2），

在Rt△OCD中，∵OD=2，OC=，

∴tan∠ODC==，

∴∠ODC=60°，

∵△OCD沿CD翻折后，O點對稱點O′，

∴O′D=OD=2，∠O′DC=∠ODC=60°，

∴∠O′DH=60°，

在Rt△O′DH中，sin∠O′DH=，

∴O′H=2sin60°=，

∴DH==1，

∴O′（﹣3，﹣），

∵當x=﹣3時，y1=x2+2x﹣2=×9+2×（﹣3）﹣2≠﹣，

∴O′點不在拋物線y1上；

（3）①設E（m， m2+2m﹣2）（m＜0），

過E作EH⊥x軸于H，連結DE，如圖2，則DH=﹣2﹣m，EH=﹣（m2+2m﹣2）=﹣m2﹣2m+2，

由（2）得∠ODC=60°，

∵點E關于直線CD的對稱點E′恰好落在x軸上，

∴DC垂直平分EE′，

∴DC平分∠EDE′，DE=DE′，

∴∠EDE′=120°，

∴∠EDH=60°，

在Rt△EDH中，∵tan∠EDH=，

∴EH=HDtan60°，即﹣m2﹣2m+2=（﹣2﹣m），

整理得m2+（4+2）m﹣8=0，解得m1=2（舍去），m2=﹣4，

∴E（﹣4，﹣2），

∴HD=2，EH=2，

∴DE==4，

∴DE′=4，

∴E′（2，0），

而E′F⊥x軸，

∴F點的橫坐標為2，

當x=2時，y1=x2+2x﹣2=6﹣2，

∴F（2，6﹣2）；

②∵點E關于直線CD的對稱點E′恰好落在x軸，

∴PE=PE′，

∴|PE′﹣PF|≤E′F（當點P、E′F共線時，取等號），

∴直線CD上存在點P，使|PE﹣PF|最大，最大值為6﹣2．