Question

如圖，PA是⊙O的割線，且經過圓心O，與⊙O交于B、A兩點，PD切⊙O于點D，AC是⊙O的一條弦，連結PC，且PC=PD．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若AC=PD，連結BC．求證：AB="2BC"

Answer 1

（1）連結OC、OD
在△POC和△POD中，∵OC=OD，PC=PD，PO=PO， ∴△POC≌△POD
∴∠ODP="∠OCP."
∵PD是⊙O的切線，∴∠ODP=90°，∴∠OCP="90°."
∴PC是⊙O的切線.
（2）∵PC、PD是⊙O的兩條切線，
∴PC=PD，
又∵AC="PD"
∴AC=PC.
∴∠A="∠CPA"
設∠A=x，則∠COP=2x，∠CPA=x.在Rt△POC中，2x+x+90°=180°，
∴x=30°.即∠A=30°.
又∵△ABC是Rt△，
∴AB=2BC

（1）要證PC是⊙O的切線，只要連接OC，OD，通過證明△OCP≌△ODP得出∠OCP=90°即可．
（2）利用直角三角形POC內角和為180°算出∠CPA的度數，從而得出∠A的度數，再根據Rt△ABC的邊角關系得出結論。