Question

點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，BD是⊙O的切線,且AB＝AD．
（1）求證：點A是DO的中點．
（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為8，cos∠BFA＝，求△ACF的面積．

Answer 1

解：（1）連接OB，∵ BD是⊙O的切線，∴∠OBD=90°，
∵AB=AD，∴∠D=∠ABD,∴∠AOB=∠ABO，∴AB=AO，∴AB=AD.
（2）∵AC是直徑，∴∠ABF=90°, cos∠BFA＝,∵∠E=∠C, ∠FAC=∠FBE，∴△FAC∽△FBE，∴△FAC的面積為18.

（1）利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，可判斷△DOB是直角三角形，則∠OBD=90°，BD是⊙O的切線；
（2）同弧所對的圓周角相等，可證明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．