Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過B，C兩點，與x軸另一交點為A．點P以每秒個單位長度的速度在線段BC上由點B向點C運動（點P不與點B和點C重合），設運動時間為t秒，過點P作x軸垂線交x軸于點E，交拋物線于點M．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，過點P作y軸垂線交y軸于點N，連接MN交BC于點Q，當時，求t的值；

（3）如圖②，連接AM交BC于點D，當△PDM是等腰三角形時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t的值為；（3）當△PDM是等腰三角形時，t＝1或t＝﹣1．

【解析】

（1）求直線y=-x+4與x軸交點B，與y軸交點C，用待定系數法即求得拋物線解析式．
（2）根據點B、C坐標求得∠OBC=45°，又PE⊥x軸于點E，得到△PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表示各線段，得到點M的橫坐標，進而用m表示點M縱坐標，求得MP的長．根據MP∥CN可證，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到關于t的方程，求解即得到t的值．
（3）因為不確定等腰△PDM的底和腰，故需分3種情況討論：①若MD=MP，則∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合題意；②若DM=DP，則∠DMP=∠MPD=45°，進而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP=DP，則∠PMD=∠PDM，由對頂角相等和兩直線平行內錯角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF進而得CF=CD．用t表示M的坐標，求直線AM解析式，求得AM與y軸交點F的坐標，即能用t表示CF的長．把直線AM與直線BC解析式聯立方程組，解得x的值即為點D橫坐標．過D作y軸垂線段DG，得等腰直角△CDG，用DG即點D橫坐標，進而可用t表示CD的長．把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值．

（1）直線y＝﹣x+4中，當x＝0時，y＝4

∴C（0，4）

當y＝﹣x+4＝0時，解得：x＝4

∴B（4，0）

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過B，C兩點

∴ 解得：

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+3x+4

（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°

∴OB＝OC

∴∠OBC＝∠OCB＝45°

∵ME⊥x軸于點E，PB＝t

∴∠BEP＝90°

∴Rt△BEP中，

∴，

∴

∵點M在拋物線上

∴，

∴ ，

∵PN⊥y軸于點N

∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°

∴四邊形ONPE是矩形

∴ON＝PE＝t

∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t

∵MP∥CN

∴△MPQ∽△NCQ

∴

∴

解得：（點P不與點C重合，故舍去）

∴t的值為

（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE

∴∠BPE＝∠PBE＝45°

∴∠MPD＝∠BPE＝45°

①若MD＝MP，則∠MDP＝∠MPD＝45°

∴∠DMP＝90°，即DM∥x軸，與題意矛盾

②若DM＝DP，則∠DMP＝∠MPD＝45°

∵∠AEM＝90°

∴AE＝ME

∵y＝﹣x2+3x+4＝0時，解得：x1＝﹣1，x2＝4

∴A（﹣1，0）

∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t

∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t

∴5﹣t＝﹣t2+5t

解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）

③若MP＝DP，則∠PMD＝∠PDM

如圖，記AM與y軸交點為F，過點D作DG⊥y軸于點G

∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF

∴CF＝CD

∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），設直線AM解析式為y＝ax+m

∴ 解得： ，

∴直線AM：

∴F（0，t）

∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t

∵tx+t＝﹣x+4，解得：，

∴，

∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°

∴，

∴

解得：

綜上所述，當△PDM是等腰三角形時，t＝1或．