Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于P(m，n)，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，|m-n|)，則稱(chēng)點(diǎn)Q為點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)(2，2)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

（2）如果點(diǎn)P在一次函數(shù)y=x-1的圖像上，其“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”Q與點(diǎn)P重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)P在一次函數(shù)y=x(x>0)和一次函數(shù)y=x(x>0)所圍成的區(qū)域內(nèi)，且點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”Q在二次函數(shù)的圖像上，求線(xiàn)段PQ的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2；0）；（2）(2；1) ；（3）PQ的最大值為，此時(shí)P（，）

【解析】試題分析：（1）直接根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義可求得答案；（2）設(shè)P（x，x-1），由關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，由Q與P重合可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），由題意可知：a>0，b>0且a>b，2b>a，然后得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，a-b），再列出PQ與a的函數(shù)關(guān)系式，最后利用配方法可求得PQ的最大值，以及點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：(1)點(diǎn)(2，2)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，|22|)，即(2，0).

(2)設(shè)P(x，x1)，則點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，1).

∵點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”Q與點(diǎn)P重合，

∴x1=1，解得x=2.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1).

(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b).

∵點(diǎn)P在一次函數(shù)y=x(x>0)和一次函數(shù)y=x(x>0)所圍成的區(qū)域內(nèi)，

∴a>0，b>0且a>b，2b>a.

∴點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”Q的坐標(biāo)為(a，ab).

∵點(diǎn)Q在二次函數(shù)y=x2的圖象上，

∴ab=a2,整理得b=aa2.

∵PQ=b(ab)=2ba，

∴PQ=2(aa2)a=2a2+a=2(a)2+.

∴當(dāng)a=時(shí)，PQ有最大值,最大值為.

把a(bǔ)=代入b=aa2得b=.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，6).