Question

【題目】(1) 知識儲備

①如圖 1，已知點 P 為等邊△ABC 外接圓的弧BC 上任意一點．求證：PB+PC= PA.

②定義：在△ABC 所在平面上存在一點 P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點 P 為△ABC

的費馬點，此時 PA+PB+PC 的值為△ABC 的費馬距離．

(2)知識遷移

①我們有如下探尋△ABC (其中∠A，∠B，∠C 均小于 120°)的費馬點和費馬距離的方法：

如圖 2，在△ABC 的外部以 BC 為邊長作等邊△BCD 及其外接圓，根據(1)的結論，易知線段____的長度即為△ABC 的費馬距離.

②在圖 3 中，用不同于圖 2 的方法作出△ABC 的費馬點 P(要求尺規作圖).

(3)知識應用

①判斷題（正確的打√，錯誤的打×）：

ⅰ.任意三角形的費馬點有且只有一個（__________）；

ⅱ.任意三角形的費馬點一定在三角形的內部（__________）.

②已知正方形 ABCD，P 是正方形內部一點，且 PA+PB+PC 的最小值為，求正方形 ABCD 的

邊長．

Answer 1

【答案】 AD √ ×

【解析】分析：（1）根據已知首先能得到△PCE為等邊三角形，進而得出△ACE≌△BPC，即可得證；

（2）①仔細閱讀新知的概念，結合圖形特點，直接有結論判斷即可；

②根據尺規作圖，作等邊三角形即可求得費馬點；

（3）①ⅰ.根據作圖可知費馬點有且只有一個，ⅱ.由圖1和圖2，可知任意三角形的費馬點不一定都在三角形的內部；

②將△ABP沿點B逆時針旋轉60°到△A1BP1，過A1作A1H⊥BC，交CB的延長線于H，連接P1P，根據等邊三角形的判定與性質，得到△P1PB是正三角形，進而得出∠A1BH=30°，然后由正方形的性質和30°角直角三角形的性質，根據勾股定理求出正方形的邊長.

詳解：（1）①證明：在PA上取一點E，使PE=PC，連接CE，

∵正三角形ABC

∴∠APC=∠ABC=60°

又∵PE=PC，∴△PEC是正三角形

∴CE=CP ∠ACB=∠ECP=60°

∴∠1=∠2

又∵∠3=∠4 BC=AC

∴△ACE≌△BCP (ASA)

∴AE=BP

即：BP+CP=AP.

（2）①線段 AD 的長度即為△ABC的費馬距離．

②過AB和AC分別向外作等邊三角形，連接CD，BE，

交點即為P0．

（3）①ⅰ.（ √ ） ②ⅱ.（ × ）

②解：將△ABP沿點B逆時針旋轉60°到△A1BP1，

過A1作A1H⊥BC，交CB的延長線于H，連接P1P，

易得：A1B=AB，PB=P1B，PA=P1 A1，∠P1BP=∠A1BA=60°

∵PB=P1B ∠P1BP=60°

∴△P1PB是正三角形

∴PP1=PB

∵PA+PB+PC的最小值為

∴P1A1+PP1+PC的最小值為

∴A1，P1，P，C在同一直線上，即A1C=

設正方形的邊長為2x

∵∠A1BA=60° ∠CBA=90°

∴∠1=30°

在Rt△A1HB中，A1B=AB=2x，∠1=30°

得：A1H=x，BH=

在Rt△A1HC中，由勾股定理得：

解得：x1=1 x2=1（舍去）

∴正方形ABCD的邊長為2．