Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D是的中點，BD交AC于點E，過點D作DF∥AC交BA的延長線于點F.

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若AF=2，FD=4，求tan∠BEC的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；(2)tan∠BEC=2

【解析】分析：（1）欲證明DF是⊙O的切線，只要證明OD⊥DF ，OD⊥AC

即可。（2）連接AD,在△ODF中利用勾股定理可求出⊙O的半徑，由△ABE∽△FBD可得AE=3，再由△BDA∽△ADE可得，而∠BEC=∠AED從而即可得出結果。

本題解析：

（1）證明：連接OD

∵D是的中點 ∴OD⊥AC

∵DF∥AC ∴OD⊥DF

∵OD為⊙O的半徑 ∴直線AB是⊙O的切線

(2)連接AD，設⊙O的半徑為r，則OD=OA=r，OF=2+r

∵∠ODF=90°, ∴，解得：r=3，∴AB=6，BF=8

∵DF∥AC，∴△ABE∽△FBD, ∴,即，∴AE=3

∵D是的中點，∴∠B=∠DAE ，

∵∠BDA=∠ADE，∴△BDA∽△ADE, ∴ ,

AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°, ∴tan∠AED=

∵∠BEC=∠AED，∴tan∠BEC=2