Question

【題目】如圖，二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，OB=OC，點D在函數圖象上，CD∥x軸且CD=2，直線l是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點．

（1）求b、c的值；

（2）如圖1，連BE，線段OC上的點F關于直線l的對稱點F’恰好在線段BE上，求點F的坐標；

（3）如圖2，動點P在線段OB上，過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M、與拋物線交于點N．試問：拋物線上是否存在點Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ的長度最小？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）點F的坐標為（0，2）；（3）存在滿足題意的點Q，其坐標為（，）或（，）．

【解析】試題分析：（1）由條件可求得拋物線對稱軸，則可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B點坐標，代入拋物線解析式可求得c的值；

（2）可設F（0，m），則可表示出F′的坐標，由B、E的坐標可求得直線BE的解析式，把F′坐標代入直線BE解析式可得到關于m的方程，可求得F點的坐標；

（3）設點P坐標為（n，0），可表示出PA、PB、PN的長，作QR⊥PN，垂足為R，則可求得QR的長，用n可表示出Q、R、N的坐標．在Rt△QRN中，由勾股定理可得到關于n的二次函數，利用二次函數的性質可知其取得最小值時n的值，則可求得Q點的坐標．

試題解析：解：（1）∵CD∥x軸，CD=2，∴拋物線對稱軸為x=1，∴﹣=1，b=2．

∵OB=OC，C（0，c），∴B點的坐標為（﹣c，0），∴0=﹣c2+2c+c，解得：c=3或c=0（舍去），∴c=3；

（2）設點F的坐標為（0，m）．∵對稱軸為直線x=1，∴點F關于直線l的對稱點F的坐標為（2，m）．由（1）可知拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴E（1，4）．∵直線BE經過點B（3，0），E（1，4），∴利用待定系數法可得直線BE的表達式為y=﹣2x+6．

∵點F在BE上，∴m=﹣2×2+6=2，即點F的坐標為（0，2）；

（3）存在點Q滿足題意．設點P坐標為（n，0），則PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3．

作QR⊥PN，垂足為R．∵S△PQN=S△APM，∴（n+1）（3﹣n）=（﹣n2+2n+3）QR，∴QR=1．

①點Q在直線PN的左側時，Q點的坐標為（n﹣1，﹣n2+4n），R點的坐標為（n，﹣n2+4n）N點的坐標為（n，﹣n2+2n+3），∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2，∴n=時，NQ取最小值1．此時Q點的坐標為（ ）；

②點Q在直線PN的右側時，Q點的坐標為（n+1，n2﹣4）．

同理，NQ2=1+（2n﹣1）2，∴n=時，NQ取最小值1．此時Q點的坐標為（）．

綜上可知：存在滿足題意的點Q，其坐標為（）或（）．