Question

【題目】已知如圖，在數軸上點A，B所對應的數是-4，4．

對于關于x的代數式N，我們規定：當有理數x在數軸上所對應的點為AB之間(包括點A，B)的任意一點時，代數式N取得所有值的最大值小于等于4，最小值大于等于-4，則稱代數式N是線段AB的封閉代數式．

例如，對于關于x的代數式|x|，當x=±4時，代數式|x|取得最大值是4；當x=0時，代數式|x|取得最小值是0，所以代數式|x|是線段AB的封閉代數式．

問題：

(1)關于x代數式|x-1|，當有理數x在數軸上所對應的點為AB之間(包括點A，B)的任意一點時，取得的最大值和最小值分別是____ ______．

所以代數式|x-1|__________(填是或不是)線段AB的封閉代數式．

(2)以下關x的代數式：

①；②x2+1；③x2+|x|-8；④|x+2|-|x-1|-1．

是線段AB的封閉代數式是__________，并證明(只需要證明是線段AB的封閉代數式的式子，不是的不需證明)．

()關于x的代數式是線段AB的封閉代數式，則有理數a的最大值是__________，最小值是__________．

Answer 1

【答案】（1）5，0，不是；（2）④，理由見解析；（3）a的最大值是2，a的最小值是-14

【解析】

（1）根據絕對值的性質可求最值，再根據封閉代數式的定義即可求解；

（2）根據封閉代數式的定義即可求解；

（3）分兩種情況討論：+3≤4，+3≥-4，依此即可求解．

（1）解：當x=-4時，|x-1|取得最大值為5，

當x=1時，|x-1|取得最小值為0，

∵|x-1|的最大值＞4，

∴|x-1|不是線段AB的封閉代數式．

（2）證明：①∵-4≤x≤4，

∴2≤x≤2，

∴≤x≤，

∵x的最小值為，不滿足最小值大于等于-4，

∴x不是線段AB的封閉代數式．

②當x=±4時，

代數式x2+1取得最大值17，不滿足最大值小于等于4，

∴x2+1不是線段AB的封閉代數式．

③當x=±4時，

代數式x2+|x|-8取得最大值12，不滿足最大值小于等于4，

∴x2+|x|-8不是線段AB的封閉代數式．

④當-4≤x＜-2時，

原式=|x+2|-|x-1|-1=-（x+2）+（x-1）-1=-4，

當-2≤x≤1時，

原式=|x+2|-|x-1|-1=（x+2）+（x-1）-1=2x，

∴-4≤2x≤2，

當1≤x≤4時，

原式=|x+2|-|x-1|-1=（x+2）-（x-1）-1=2，

綜上所述：-4≤|x+2|-|x-1|-1≤2滿足最大值小于等于4，最小值大于等于-4，

∴|x+2|-|x-1|-1是線段AB的封閉代數式．

（3）+3≤4，

a≤|x+1|+2，

|x+1|+2在-4和4之間的最小值是2，a要不大于這個最小值才能使所有在-4和4之間的x都成立，

所以a的最大值是2，

+3≥-4，

a≥-7（|x+1|+2），

-7（|x+1|+2）在-4和4之間的最大值是-14，a要不小于這個最大值才能使所有在-4和4之間的x都成立，

所以a的最小值是-14．