Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB為直角，AB=10，°，半徑為1的動圓Q的圓心從點C出發，沿著CB方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動，同時動點P從點B出發，沿著BA方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運動，設運動時間為t秒（0＜t≤5）以P為圓心，PB長為半徑的⊙P與AB、BC的另一個交點分別為E、D，連結ED、EQ．

（1）判斷并證明ED與BC的位置關系，并求當點Q與點D重合時t的值；

（2）當⊙P和AC相交時，設CQ為，⊙P被AC 截得的弦長為，求關于的函數； 并求當⊙Q過點B時⊙P被AC截得的弦長；

（3）若⊙P與⊙Q相交，寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）ED⊥BC，；（2），；（3）

【解析】試題分析：（1）連接PD，由PB=PD，PD=PE，可得∠PBD=∠PDB，∠PDE=∠PED，再由三角形的內角和定理可得∠BDE=∠BDP+∠PDE=90°，即可得DE⊥BC；因DE∥CA，可得△BDE∽△BCA，根據相似三角形的性質可得，設CQ=CD=t，BD=5-t，BE=2t，代入求得t值即可；設⊙P和AC相交于 M、N，BP=CQ=x，AP=AB-BP=10-x,過點P作PH⊥AC于點 H,在Rt△APH中，可得PH= AP，PH=(10-x)，在Rt△PHN中，即可求得y關于x的函數；如圖，當⊙Q經過B點時， CQ=CB﹣QB=4，將t的值代入即可求得MN的長；（3）當Q⊙P與⊙Q外切時，如圖，此時易知∠QBP=60°，BQ=5-t，PQ=t+1，BP=t，，因從此時起直至停止運動，⊙P與⊙Q都處于相交位置，即可得⊙P與⊙Q相交時t的取值范圍.

試題解析：

（1）連接PD，∵B、E、D都在⊙P上

∴PB=PD，∠PBD=∠PDB， PD=PE，∠PDE=∠PED

∵△BDE的內角和為180° ∴∠BDE=∠BDP+∠PDE=90°，

∴即：DE⊥BC

∵∠BCA=90°，°

∴DE∥CA，∴△BDE∽△BCA，

∴

設CQ=CD=t，BD=5-t，BE=2t

代入有 解得：

∴當時Q與D重合.

（2）設⊙P和AC相交于 M、N，

BP=CQ=x，AP=AB-BP=10-x過點P作PH⊥AC于點 H

在Rt△APH中，易知：

PH=

在Rt△PHN中，易知：HN==

當⊙Q經過B點時，（如圖） CQ=CB﹣QB=4，

將代入得：

（3）當Q⊙P與⊙Q外切時，如圖，

易知此時∠QBP=60°，BQ=5-t，PQ=t+1，BP=t

，

∵從此時起直至停止運動，⊙P與⊙Q都處于相交位置

∴⊙P與⊙Q相交時t的取值范圍為：