Question

【題目】[問題解答]

兩個城鎮與一條公路位置如圖①所示.現電信部門需在公路上修建一座信號發射塔要求發射塔到兩個城鎮與的距離之和最短．

　　　　　　

解：點作關于直線的對稱點連結,

與直線的交點即為所求的點.

點關于直線對稱，

直線垂直平分

點即為所求的點。(兩點之間線段最短)

請根據以上問題解答，完成下列問題．

[方法運用]如圖②，在正方形中，點在邊上，點在對角線AC上，

（1）當點是邊的中點時，則的最小值為 ；

（2）若求周長的最小值．

[拓展提升]如圖③，在中，，AD平分交于點，點分別在上，則的最小值為 ．

Answer 1

【答案】[方法運用]（1）；（2）△BEM周長的最小值6；[拓展提升]．

【解析】

[方法運用]

（1）易知B關于AC的對稱點D，連接DE交AC于M，則的最小值為DE，根據勾股定理即可求出DE長；

（2）作點E作關于AC的對稱點E1，連結BE1，交AC與點M，求出的最小值，即可求出三角形周長的最小值；

[拓展提升]

由角平分線可得到F點對稱點始終在AB上，延長CE交AB于P點，則CP=，當CP⊥AB時，即可求得最小值．

解：[方法運用]

（1）易知B點關于AC對稱點為D點，連接DE交AC于M，

的最小值為，

∴則的最小值為．

（2）作點E作關于AC的對稱點E1，連結BE1，交AC與點M．

∵點E、E1關于AC對稱，

∴AC垂直平分EE1

∴，

∴，

∴，

又∵BE=4-3=1，

∴△BEM周長的最小值6．

[拓展提升]

∵AD平分，

∴F點關于AD的對稱點始終在AB上，

延長CE交AB于P點，則P點為F點的對稱點，即CP=，

∴當CP⊥AB時，有最小值，

∵，

∴AB=5，

∴CP=，

∴的最小值為．