Question

已知直線y=ax+b（a≠0）與反比例函數y=

k

x

(k≠0)交于A、B兩點，其中A（-1，-2）與B（2，n），
（1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）若點C（-1，0），則在平面直角坐標系中是否存在點D，使得以A，B，C，D四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A坐標代入反比例函數解析式中求出k的值，確定出反比例函數解析式；將B坐標代入反比例解析式中求出n的值，確定出B的坐標，將A與B的坐標代入一次函數解析式中求出a與b的值，即可確定出一次函數解析式；
（2）設直線與x軸交于C點，求出C坐標，確定出OC的長，三角形AOB的面積等于三角形AOC與三角形BOC面積之和，求出即可；
（3）存在點D，使得以A，B，C，D四點為頂點的四邊形為平行四邊形，如圖所示，求出D坐標即可．

解答：解：（1）將A（-1，-2）代入反比例解析式得：-2=

k

-1

，即k=2，
故反比例函數解析式為y=

2

x

；
將B（2，n）代入反比例解析式得：n=

2

2

=1，即B（2，1），
將A與B坐標代入直線解析式得：

2a+b=1 -a+b=-2

，
解得：

a=1 b=-1

．
故直線解析式為y=x-1；

（2）設直線與x軸交點為E點，對于y=x-1，令y=0，求出x=1，即E（1，0），
則OE=1，
則S_△AOB=S_△EOC+S_△AOC=

1

2

OE•|y_B縱坐標|+

1

2

OE•|y_A縱坐標|=

1

2

+1=

3

2

；

（3）存在點D，使得以A，B，C，D四點為頂點的四邊形為平行四邊形，理由為：
如圖所示，四邊形ACD₁B，四邊形ACBD₂，四邊形ABCD₃都為平行四邊形，
∵A（-1，-2），C（-1，0），
∴AC=2，
∴BD₁=BD₂=2，
∴D₁（2，3），D₂（2，-1），
由C（-1，0），A（-1，-2），D₁（2，3），D₂（2，-1），
得到直線CD₁解析式為y-3=

3-0

2+1

（x-2），即y=x+1，直線AD₂解析式為y+1=

-1+2

2+1

（x-2），即y=

1

3

x-

5

3

，
聯立兩直線解析式得：

y=x+1 y= 1 3 x- 5 3

，
解得：

x=-4 y=-3

，
∴D₃（-4，-3），
綜上，存在點D，使得以A，B，C，D四點為頂點的四邊形為平行四邊形，其坐標為：D₁（2，3），D₂（2，-1），D₃（-4，-3）．

點評：此題考查了反比例函數綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的判定與性質，待定系數法確定一次函數解析式，兩直線的交點，坐標與圖形性質，以及三角形面積求法，是一道中檔題．