Question

【題目】如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60°，將紙片折疊，點A、D分別落在A′、D′處，且A′D′經過B，EF為折痕，當D′F⊥CD時， 的值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：延長DC與A′D′，交于點M，
∵在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，
∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD，
∴∠D=180°﹣∠A=120°，
根據折疊的性質，可得∠A′D′F=∠D=120°，
∴∠FD′M=180°﹣∠A′D′F=60°，
∵D′F⊥CD，
∴∠D′FM=90°，∠M=90°﹣∠FD′M=30°，
∵∠BCM=180°﹣∠BCD=120°，
∴∠CBM=180°﹣∠BCM﹣∠M=30°，
∴∠CBM=∠M，
∴BC=CM，
設CF=x，D′F=DF=y，
則BC=CM=CD=CF+DF=x+y，
∴FM=CM+CF=2x+y，
在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°= = = ，
∴x= y，
∴ = = ．
故答案為： ．

首先延長DC與A′D′，交于點M，由四邊形ABCD是菱形與折疊的性質，易求得△BCM是等腰三角形，△D′FM是含30°角的直角三角形，然后設CF=x，D′F=DF=y，利用正切函數的知識，即可求得答案．