Question

【題目】如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB，AE（AB＜AE）在一條直線上，正方形AEFG以點A為旋轉中心逆時針旋轉，設旋轉角為α．在旋轉過程中，兩個正方形只有點A重合，其它頂點均不重合，連接BE，DG．

（1）當正方形AEFG旋轉至如圖2所示的位置時，求證：BE=DG；

（2）如圖3，如果α=45°，AB=2，AE=3 ．
①求BE的長；②求點A到BE的距離；

（3）當點C落在直線BE上時，連接FC，直接寫出∠FCD的度數．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°，

又∵四邊形AEFG是正方形，

∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°，

∴∠BAE=∠DAG．

在△ABE與△ADG中，

∵ ，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴BE=DG

（2）

解：①如圖1，作BN⊥AE于點N，

∵∠BAN=45°，AB=2，

∴AN=BN= ．

在△BEN中，

∵BN= ，NE=3 ﹣ ，

∴BE= ；

②如圖1，作AM⊥BE于點M，則S△ABE= AEBN= ×3 × = ．

又∵S△ABE= BEAM= × ×AM= ，

∴AM= ，即點A到BE的距離

（3）

解：解：①如圖2，連接AC，AF，CF，

∵四邊形ABCD與AEFG是正方形，

∴∠ACD=∠AFE=45°，

∵∠DCE=90°

∴點A，C，E，F(xiàn)四點共圓，

∵∠AEF是直角，

∴AF是直徑，

∴∠ACF=90°，

∵∠ACD=45°，

∴∠FCD=45°

②如圖3，連接AC，AF，F(xiàn)G，CG

由（1）知∵△ABE≌△ADG，

∴∠ABE=∠ADG=90°，

∴DG和CG在同一條直線上，

∴∠AGD=∠AGC=∠BAG，

∵四邊形ABCD與AEFG是正方形，

∴∠BAC=∠FAG=45°，

∴∠BAG+∠GAC=45°，∠BAG+∠BAF=45°，

∴∠AGD+∠GAC=45°，

∴∠BAG+∠BAF+∠AGD+∠GAC+∠AGF=180°，

∴點A，C，G，F(xiàn)四點共圓，

∵∠AGF是直角，

∴AF是直徑，

∴∠ACF=90°，

∴∠FCD=90°+45°=135°

綜上所述，∠FCD的度數為45°或135°．

【解析】（1）根據正方形的性質可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再根據余角的性質，可得∠BAE=∠DAG，然后利用“SAS”證明△ABE≌△ADG，根據全等三角形對應邊相等證明即可；（2）①作BN⊥AE于點N，根據勾股定理得出AN=BN= ，在△BEN中，根據勾股定理即可得出結論；②作AM⊥BE于點M，根據S△ABE= AEBN= BEAM=3即可得出結論；（3）分兩種情況：①E在BC的右邊，連接AC，AF，CF，利用點A，C，E，F(xiàn)四點共圓求解，②E在BC的左邊，連接AC，AF，F(xiàn)G，CG，首先確定DG和CG在同一條直線上，再利用點A，C，G，F(xiàn)四點共圓求解．
【考點精析】關于本題考查的旋轉的性質，需要了解①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能得出正確答案．