Question

如圖，四邊形ABCD是正方形, 點G是BC上任意一點，DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F.

(1) 求證：DE－BF = EF．
(2) 當點G為BC邊中點時, 試探究線段EF與GF之間的數量關系， 并說明理由．
(3) 若點G為CB延長線上一點，其余條件不變．請畫出圖形，寫出此時DE、BF、EF之間的數量關系（不需要證明）．

Answer 1

（1）通過三角形全等進而求證（2）DE－BF = AF－AE = EF

試題分析：(1) 證明:

∵ 四邊形ABCD是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG
∴ DA=AB， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°
∴ ∠BAF = ∠ADE        ∴ △ABF ≌ △DAE     
∴ BF = AE , AF = DE  
∴ DE－BF = AF－AE = EF   3分
（2）EF = 2FG      理由如下：
∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG
∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG   
∴  ∴ AF = 2BF , BF =" 2" FG  
由(1)知, AE = BF，∴ EF = BF =" 2" FG    8分
(3) DE + BF = EF            
點評：解答本題的的關鍵是熟練掌握有兩組角對應相等的兩個三角形相似；兩組邊對應成比例且夾角相等的三角形相似.