Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內作半圓C，點B是該半圓周上的一動點，連結OB、AB，并延長AB至點D，使DB＝AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連結CF.

（1）當∠AOB＝30°時，求弧AB的長；
（2）當DE＝8時，求線段EF的長；
（3）在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

；3；存在

試題分析：（1）連結BC,  
∵A（10，0）,∴OA=10,CA=5,
∵∠AOB=30°,
∴∠ACB="2∠AOB=60°,"
∴弧AB的長=;……4分

（2）連結OD,
∵OA是⊙C直徑,∴∠OBA=90°,
又∵AB=BD,
∴OB是AD的垂直平分線,
∴OD=OA=10,
在Rt△ODE中，
OE=,
∴AE=AO－OE=10-6=4,
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA,
∴,即，∴EF=3；……8分
（3）設OE=x，
①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，當∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC中點，即OE=，
∴E1（，0）；
當∠ECF=∠OAB時，有CE=5-x,AE=10-x，
∴CF∥AB,有CF=,
∵△ECF∽△EAD,
∴,即,解得：,
∴E2（，0）;

②當交點E在點C的右側時，
∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，
連結BE，
∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，
∴BE=AB=BD,
∴∠BEA=∠BAO,
∴∠BEA=∠ECF,
∴CF∥BE,∴,
∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，
∴△CEF∽△AED,∴,
而AD=2BE,∴,
即,解得,＜0（舍去），
∴E3（，0）;

③當交點E在點O的左側時，
∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF.
∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO
連結BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA,
∴CF∥BE,
∴,
又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，
∴△CEF∽△AED,∴，
而AD=2BE,∴,
∴,解得,＜0（舍去）,
∵點E在x軸負半軸上,∴E4（，0）,
綜上所述：存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似,此時點E坐標為：
（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．（12分）
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質：相似三角形的對應邊成比例，注意對應字母在對應位置上.