Question

【題目】如圖1，平行四邊形ABCD，點E在AD上，連接CE，點F為CE中點，連接DF，并且DF＝EF．

（1）求證：平行四邊形ABCD是矩形；

（2）如圖2，過點B作BH⊥CE，垂足為H，連接AH，若∠AHB＝45°，求證：AE＝CD；

（3）如圖3，在（2）的條件下，過點A作AK⊥BH，垂足為N，AK與BC交于點K，若四邊形ABHE的面積為128，BK＝2，求線段HF的長度．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質和三角形內角和即可證明；

（2）過A點作MA⊥AH交HB的延長線于點M，然后證明△ABM≌△AEH即可證明；

（3）連接BE，先根據（2）得到的條件對四邊形ABHE的面積進行轉換，從而得到AN的的長，設AE=x再根據相似三角形得到BN的表達式，根據勾股定理得到EH的表達式，再把四邊形ABHE的面積看作△ABE和△BHE的和，列出方程，解出x的值，再根據已知條件進行計算即可．

（1）∵DF=EF，

∴∠FDE=∠DEF，

又∵DF=FC，

∴∠FDC=∠FCD，

∵∠FDE+∠DEF+∠FDC+∠FCD=180°，即2（∠DEF+∠FCD）=180°，

∴∠EDC=90°，

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是矩形；

（2）過A點作MA⊥AH，交HB的延長線于點M，

∵MA⊥AH，BH⊥CE，∠AHB=45°，

∴∠AHB=∠AHE=∠AMH=45°，

∴AM=AH，

∵∠MAB+∠BAH=∠EAH+∠BAH=90°

∴∠MAB=∠EAH，

∴△ABM≌△AEH，

∴AB=AE,

由（1）可知四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，

∴AE=CD；

（3）連接BE，

由（2）可知△ABM≌△AEH，

∴S四邊形ABHE=S△AMH=128，

∵AH⊥BH，∠AHB=45°，

∴∠KAH=45°，

∴S△ANH是等腰直角三角形，

同理S△AMH是等腰直角三角形，

∴MN=NH=AN（三線合一），

∴S△AMH=2AN·AN·=128，

∴AN=，

∵AK⊥BH，

∴∠ABN+∠BAN=90°，

又∵∠BAN+∠BKA=90°，

∴∠ABN=∠BKA，

又∵∠ABK=∠ANB=90°，

∴△ABN∽△AKB，

設AE=x,

由（2）可知AE=AB=CD=x，

∴，

∴BN=，

則

∴，

解得x=，

由（1）可知四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠B=∠D，AD=BC，

∵AN⊥BH，CE⊥BH，

∴AK∥CE，

∴∠CED=∠ECK=∠AKB，

∴△ABK≌△CDE，

∴DE=BK=，

∴，

將x=代入EH的表達式得EH=，

∴HF=EF-EH=．