Question

【題目】如圖，有一個邊長不定的正方形ABCD，它的兩個相對的頂點A，C分別在邊長為1的正六邊形一組平行的對邊上，另外兩個頂點B，D在正六邊形內部（包括邊界），則正方形邊長a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】 ≤a≤3﹣
【解析】解：①當正方形ABCD的對角線AC在正六邊形一組平行的對邊的中點上時，
正方形邊長a的值最小，AC是正方形的對角線，
∴AC=A′D= ，
∴a= ，
②當正方形ABCD的四個頂點都在正六邊形的邊上時，正方形邊長a的值最大，AC是正方形的對角線AC，

設A′（t， ）時，正方形的邊長最大，
∵OB′⊥OA′，
∴B′（﹣ ，t），

設直線MN的解析式為y=kx+b，M（﹣1，0），N（﹣ ，﹣ ），
∴ ，
∴ ，
∴直線MN的解析式為y=﹣ x﹣ ，
將B′（﹣ ，t）代入得t= ﹣ ，
此時，A′B′取最大值，
∴a= =3﹣ ，
∴正方形邊長a的取值范圍是： ≤a≤3﹣ ，
故答案為： ≤a≤3﹣ ．
①當正方形ABCD的對角線AC在正六邊形一組平行的對邊的中點上時，正方形邊長a的值最小，AC是正方形的對角線，先利用銳角三角函數的定義求出AC的長，再根據勾股定理求出正方形的邊長a；②當正方形ABCD的四個頂點都在正六邊形的邊上時，正方形邊長a的值最大，AC是正方形的對角線AC，設點設A′（t， ）時，正方形的邊長最大，根據OB′⊥OA′，表示出點B′（﹣ ，t），從而可得出點M、N的坐標，求出直線MN的函數解析式，再將點B′的坐標代入直線MN的函數解析式，求出t的值，然后利用勾股定理求出a的值，即可得到a的取值范圍。